назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


54

Количество итераций

Рис. 11.5. Аттрактор Хенона. Чувствительная зависимость от начальных условий.

На рис. 11.5 показано, как эти графики стартуют, тесно соприкасаясь друг с другом, но потом быстро расходятся. Перед нами чувствительная зависимость от начальных условий. Значения переменных х расходятся потому, что в уравнении для X значение по-1г,пдптгя г, квадрат. Т.1кп\г обр.тзом. "я-чальные величины х в ячейках А1 и D1, несмотря на то, что они отличаются всего лишь на 0.01, будут расходиться при каждой итерации на 0.01 в квадрате и через обратную связь непосредственно отражаться на а; и далее опосредованно, через каждые две итерации, - на у.

Если увеличить часть отображения Хенона (аттрактор)) то станет видно больше деталей; чем больше будет увеличение, тем больше обнаружится деталей. Это отображение, как и большинство хаотических аттракторов, является фракталом. Подсчет методом оконного скейлинга дает фрактальну размерность этого аттрактора, равную 1.26. Это больше, чеМ кривая и меньше, чем плоскость, - подобно временному ряДУ рьшочных прибылей.



Когда уравнения известны, можно выполнять численные эксперименты, как это было сделано выше со вторым столбцом чисел. Предположим, что мы хотим предсказать х на 30 итераций в будущее. Наша оценка текущих условий составляет около 0.01, поскольку на дисплее отображается только один десятичный знак. На рис. 11.5 показано, какова может быть ошибка предсказания, если оценка текущих условий немного отличается. Отклонение в точности предсказания может быть при этом весьма существенным. На рис. 11.5 начальные величины X тл у составляют в действительности соответственно 0.11, 0.10, вместо 0.10, 0.10. После 30 итераций в результате этой десятипроцентной ошибки в оценке х предсказание составляет--0.17, в то время как действительная величина равна 0.45. Небольшая ошибка в измерении текущих условий становится большой ошибкой в предсказании. (Сохраните эти данные в электронной таблице для использования в гл. 12.)

Численные эксперименты, подобные тому, что мы выполнили с уравнением Хенона, весьма поучительны. Они помогают нам почувствовать движение в нелинейных системах посредством такого эмпирического тестирования. Однако чистому математику это ничего не доказывает. Такого рода математический эксперимент не был бы им даже одобрен. Для чистого математика проблема является решенной только тогда, когда она решена для общего случая.

Многие нелинейные системы решены в классическом смысле (подобно тому как было доказано существование числа Фейгенбяумя - гм гтт 10) но мнгир лругие такого решения не имеют. Отображение Хенона остается «требующим доказательства». Для практиков, не требующих математического доказательства, численные эксперименты представляют собой «подручный» способ рассмотрения нелиней-ИЬ1Х систем, путь интуитивного постижения их, осознания Необходимости преодоления хаоса. Я призываю вас экспериментировать. Лабораторией хаоса становится компьютер, изменяйте параметры и изучайте результаты. Создавайте <вои собственные аттракторы. Современные компьютеры да-

возможность видеть то, что Пуанкаре мог только вообразить.



ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДЕРЖКОЙ

Отображение Хенона может быть представлено как двумерная система в электронной таблице. Отображением, демон-стрирющим другой тип поведения, является так называемое логистическое уравнение с задержкой:

xt = a*X(t i) * (1-a;(t 2)) (11.2)

где Xt - переменная, а - константа.

Логистическое уравнение с задержкой интересно тем, что демонстрирует поведение, именуемое бифуркацией Хопфа, т. е. переходом от точечного аттрактора к предельному циклу. В логистическом уравнении с задержкой текущая величина х зависит от двух предшествующих значений х, в то время как в простом логистическом уравнении она зависит только от одного предшествующего периода.

Выполним построение в электронной таблице, подобно тому, как это было сделано для аттрактора Хенона:

1. В ячейку А1 поместить константу а. Начать с величины 1.50.

2. В ячейки В1 и В2 поместить начальное значение х = 0.10.

3. В ячейку ВЗ поместить следующее уравнение:

$А$1*Я2*(1-Я1).

4. Копировать ячейку ЯЗ вниз на 300 или более строк.

5. В ячейку С1 вставить <i+B2» (величину в В2), с тем, чтобы столбец П гтя.п столбцом В сдвинутым на одно наблюдение. Копировать С1 вниз на то же количество строк, что содержится в столбце В.

6. Построить график, взяв столбец В в качестве х, а столбец С в качестве у. Иметь дело с таким графиком предпочтительнее, чем с символами.

На графике вы увидите спиральную кривую с конечной точкой. Это классический точечный аттрактор. Если увеличивать константу (а) в ячейке А1, то эта спираль будет cTaHO" виться все шире и шире. Когда константа (а) превысит критИ ческую величину, равную 2.58, график примет форму овалэ-Теперь аттрактором стал предельный цикл. Переход такого рода называется бифуркацией Хопфа.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]