назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


53

Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет враш;аться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Это хаотический, или странный, «аттрактор». Поскольку хаотические аттракторы к тому же имеют фрактальную размерность (как мы увидим позже), Мандельброт называет их «фрактальные аттракторы» - это название лучше нежели «странные», но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие становится областью в фазовом пространстве - ограниченной областью с бесконечным количеством решений, подобно тому как это имеет место в треугольнике Серпинского и снежинке Кох.

Такое фазовое пространство дает нам картину возможностей системы. Для систем, уравнения которых известны, сконструировать фазовое пространство несложно. Если же природа системы неизвестна, а наблюдается только некий эффект, то фазовое пространство может быть восстановлено по данным. (Мы отложим обсуждение этой возможности до гл. 12.) В следуюш;ем разделе мы рассмотрим низкоразмерные системы с известными уравнениями. Они позволят нам изучить характеристики этого типа уравнений, перед тем как обратиться к временным рядам.

ОТОБРАЖЕНИЕ ХЕНОНА

Аттрактор Хенона (Непоп, 1976) является хорошим примером двумерного итеративного отображения. Его уравнения сами по себе просты;

xt+i = l + yt-a*x{, yt+i=b*xt. (11.1)

Когда а = -f-1.40 и 6 = 0.30, мы получаем хаотическое дви-ние. На рис. 11.3 величины х иу представлены как времен-ряды. Хаотичность движения в обоих рядах видна невооруженным глазом. Фазовые портреты переменных показаны

рис. 11.4 . Эти структуры уже определенно не являются



Количество итераций Рис. 11.3. Аттрактор Хенона. Временные ряды по х и по у.

0.S 0.4 0.3 0.2 0.1

-0.1 -ОЛ -0.3 -0.4 -0.S

-1-1 1 1-1-

-1-1 1 .J-1-1 1--

-1.4

-О.б -0.2

Рис. 11.4. Аттрактор Хенона. Фазовый портрет; а = -1.4, 6 = О-



случайными. Как и в игре хаоса, кажется, что точки вырисовываются случайным образом. Возникает определенный порядок, зависягций от начальной точки, но результат всегда один: аттрактор Хенона.

Данная система имеет две степени свободы: х и у. Каждое значение х зависит от предшествуюгцих значений ж и у и каждое значание у соответственно от предшествующего х. Таким образом, значения всех переменных зависят от своих предшествуюгцих значений. Временные ряды этих величин зависят от выбранных начальных условий. Однако не имеет значения, какая именно начальная величина использована (каким образом порождается временной ряд) - фазовый портрет всегда выглядит одинаково. Читатель может легко проверить это самостоятельно. С помощью электронной таблицы разностные уравнения легко исследуются как в одномерном, так и двумерном случае. Это можно проделать следующим образом:

1. В ячейки Al и В1 поместить начальные величины х и у, выбранные в диапазоне значений от О до 1.

2. В ячейку А2 поместить следующее выражение:

l + Bl-lA*Al.

3. В ячейку В2 поместить выражение:

0.3 * Al.

4. Скопировать Al и В2 вниз на 300 строк или более (чем больше, тем лучше).

5. Нарисовать диаграмму, используя значения в столбце А в качестве перелтрнпой т. а значения в столбце В к.ак перс Менную у.

Вы получаете отображение Хенона. Измените начальные величины X и у в ячейках Al и В1. Выполнив те же действия, что и выше, вы заметите, как изменились все значения в столбцах, но фазовая диаграмма останется прежней. Не имеет значения, какие начальные величины (или «начальные Условия») будут выбраны -график всегда остается одинаковым. Система притягивается к этой форме, которая является

странным аттрактором.

Создадим вторую систему Хенона в столбцах D и Е, ис-нользуя начальные величины для а; и у, на 0.01, отличаю-•ЧИеся от тех, что были в столбцах А и В. Представим вели-Ины в столбцах А и D как линейные графики во времени.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]