назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


51

Определение динамических систем 161

С помощью математики мы, наконец, смогли понять, каким образом природа управляет телами и как взаимодействуют эти тела.

Это, однако, стало пределом. Ньютоновская физика могла объяснить, как взаимодействуют два тела, но неспособна предсказать взаимодействие трех тел. Этот недостаток обнаруживается, когда мы посылаем зонды к другим планетам. Когда зонд запущен, ученые устанавливают для него траекторию таким образом, чтобы она приводила его в назначенное место. Если цель - планета Марс, например, они не шлют зонд туда, где Марс находится в данный момент, но шлют туда, где он будет по предсказанию астрономов, использующих ньютоновскую физическую теорию. На этом пути зонда проводится ряд коррекций траектории. Почему? Если ньютоновская физика совершенна, то ее предсказания не нуждаются в коррекциях, разве что тех, которые обязаны вычислительным ошибкам. Но коррекции необходимы, потому что ньютоновская физика не может предсказывать абсолютно точно движение в системе, состоящей более чем из двух тел, а солнечная система как раз такова.

Проблема системы трех тел занимала ученых еще в XIX веке. В итоге Пуанкаре утверждал, что эта проблема не имеет единственного решения, поскольку системе присущи нелинейности. Пуанкаре (1908) объяснил, почему эти нелинейности так важны:

«Незначительная причина, укрывшаяся от нашего внимания, порождает значительный эффект, который мы не можем предвидеть, и тогда мы говорим, что этот эффект случаен хтожет случиться так. что !.xoпI,кaя р.агппца в пачалт. ных условиях продуцирует большое различие в конце явления. Малая ошибка на предшествующем этапе создает огромную ошибку впоследствии. Предсказание становится невозможным...»

Этот эффект называется теперь «чувствительная зависимость от начальных условий»; он стал важной характеристикой динамических систем. Динамическим системам присуща Непредсказуемость в долговременной перспективе. -

Эта непредсказуемость обусловлена двумя причинами. Динамические системы являются системами с обратной связью. оь1ходные данные системы в преобразованном виде снова попадают на ее вход, и так до бесконечности. Системы с обратной связью очень похожи на сложные проценты, если не счи-



тать экспоненциального преобразования; они имеют показатель, больший единицы. Разность начальных величин возрастает по экспоненте. Мы увидим это позже на некоторых примерах.

Вторая характеристика сложных систем включает в себя концепцию критических уровней. Классический пример - «соломинка, переломившая верблюжью спину». Если на спину верблюда добавлять ношу, то в конце концов наступает момент, когда верблюд не может вынести большего веса. И тогда добавленная соломинка убивает его. Этот внезапный коллапс есть нелинейная реакция, поскольку не суп];ествует прямой связи между гибелью верблюда и этой соломинкой. Накопленный весовой эффект в итоге превосходит верблюжью выносливость (ее критический уровень) и приводит к коллапсу.

Описанная выше струйка сигаретного дыма также имеет критический уровень. В отсутствие сквозняка в комнате струя дыма от сигареты будет подниматься вверх, потом внезапно свернется в кольца и рассеется. Что случилось? Дым поднимается и ускоряется. Как только его скорость привысит критический уровень, столб дыма уже не может преодолевать плотность воздуха и рассеивается.

Динамическая система есть нелинейная система с обратной связью. Основные характеристики динамических систем включают в себя чувствительную зависимость от начальных условий, критические уровни и уже знакомые нам из части 2 фрактальные размерности. Важным моментом в понимании нелинейных динамических систем является их зрительное восприятие В исглелоЕг!нип улч ризуальиый чпч.тиз приобретает исключительное значение, - в некоторой степени это стало уже понятным при рассмотрении фракталов.

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

Визуальная оценка данных в нелинейных динамических системах важна потому, что они, как правило, не имеют единственного решения. Обычно суп];ествует множество - возможно, бесконечное количество - решений. Как и в реальной жизни, есть много возможностей. В прошлом это обстоятельство заставляло исследователей избегать рассмотрения нелинейных систем. Нынешние широкие графические возможности персональных компьютеров позволяют нам увидеть это



огромное множество возможных решений. Многие хаотические системы имеют бесконечное количество решений, заключенных в ограниченной части пространства. Такого рода система тяготеет к определенной области пространства, и это множество возможных решений часто имеет фрактальную размерность. (Это самоподобие в игре хаоса Барнсли в гл. 5 осуществлено совершенно осознанно.)

Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за X, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т. е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы -он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим.

Для нас важны три основных класса нелинейных систем. Каждый из них имеет свой собственный тип «аттрактора» (область решений) в фазовом пространстве.

Простейшим типом является точечный аттрактор. Пример системы с точечным аттрактором - маятник, задемпфи-рованный трением. Когда маятнику сообщается первоначальная энергия, он начинает раскачиваться, но ввиду трения амплитуда его колебаний становится все меньше и меньше, пока маятник совсем не остановится. Переменными в такой системе выступают скорость и положение. Если одну или другую из этих переменных вычертить как временной ряд, то результирующая волнистая линия будет постепенно уменьшать свою амплитуду до нуля - кривая становится прямой линией. Маятник останавливается. Это показано на рис. 11.16. Если фазовый портрет этой системы вычертить в координатах положение - скорость, то мы получим спиральную кривую, которая оканчивается в начале координат, когда маятник останавливается (см. рис. 11.1а). Если сообщить маятнику большую Начальную энергию, временной ряд и фазовый портрет системы будут обладать большей начальной амплитудой, но тем

менее временной ряд придет к нулевому значению, а фазо-ьь1й портрет - в начало координат. Можно сказать, что в этом

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]