назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


5

Все эти факторы делают рынки капитала беспорядочными. Четкость, оптимальные решения здесь неприменимы. Вместо того мы предоставлены множеству возможных решений. Эти характеристики - далекие от равновесия условия и не зависящие от времени механизмы обратной связи - являются симптоматикой нелинейных динамических систем.

Когда я был аспирантом-математиком, в курсе дифференциальных уравнений мы изучали только линейные уравнения. Мы изучали их потому, что они имеют единственное решение. Они имели приложения в технике и физике. Они были аккуратны.

Нелинейные дифференциальные уравнения выглядели бесполезными ввиду того, что имели множество решений, которые казались не относящимися к реальности. Они были сложны, беспорядочны и выглядели исключениями.

Теперь мы знаем, что большинство сложных естественных систем может быть смоделировано с помощью нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Эти уравнения полезны именно по тем причинам, по которым их стремятся избегать. Жизнь не упорядоченна. Она изобилует возможностями. Поэтому необходимы модели со множеством возможных решений.

Возьмем для иллюстрации простую нелинейную систему. Предположим, есть акция ценой Р{, определим ее как мелкую акцию, продаваемую меньше чем за один доллар. Поскольку на рынок приходит достаточно много покупателей, их требования становятся причиной повышения цены на определенную долю от первоначальной стоимости, определяемую коэф-фииирнтт< п Тогда стоимость этой акции в момент времени -Ь 1 будет равна:

Pt+i=a*Pt. (1.1)

В этом уравнении предполагается, что существуют только покупатели. Чтобы сделать модель более реалистичной, мы должны учесть влияние продавцов. Предположим, что в то время как цена увеличивается на а* Pj, продавцы уменьшают ее на а* Pf-. Уравнение (1.1), следовательно, приобретает вид:

Р«+1 = о * Р( - а * Р2

Pt+i=a*Pt*ilPt). (1.2)



Эта модель тоже не очень реалистична, однако она объясняет, по крайней мере, что происходит, если давление покупателей поднимает цены в пропорции а, а продавцы снижают их на а * Pf. При низком спросе цены снижаются до нуля и система умирает. При высоком (но не слишком высоком) спросе цены стремятся к устойчивому состоянию, или к «справедливой величине».

Предположим, покупательское давление дает рост со скоростью а = 2 и Ро = 0.3. В соответствии с итерационным уравнением (1.2) цена в конце концов устанавливается на отметке 0.50. (Я предлагаю читателю проверить это на персональном компьютере с электронной таблицей. Просто скопировать уравнение (1.2) вниз на сто ячеек, или около того. Может быть использован также калькулятор путем повторных нажатий кнопки вычисления.) Таким образом, на средних величинах цены конвергируют к постоянной величине. Однако, если скорость роста увеличить до а = 2.5, то неожиданно образуются две возможных справедливых цены, и система начинает осциллировать между ними. Почему это происходит? На этом критическом уровне покупатели и продавцы поступают на рынке не одинаково. Отставание а* при этом становится больше, чем рост, обусловленный величиной а. Но если цена достигла низшего уровня, то в этом случае начинает доминировать скорость роста а, толкая цену обратно к верхней отметке. Таким образом, имеют место две справедливые цены: по одной продавцы продают, по второй покупатели покупают. На этом однако, дело не кончается.

Если скорость роста а непрерывно повышать, то возможно появ.гтенир 4-х. 16-ти. 32-х справедливых пен. В итоге, пои а = 3.75 имеет место бесконечное количество справедливых цен. Так как система не может установиться на какой-то справедливой цене, она флуктуирует случайным образом, хаотически. На рис. 1.1 показана бифуркационная диаграмма с критическими величинами скорости роста а, где число справедливых цен увеличивается.

Эта модель не реалистична, она предполагает, например, что давление продавцов прямо соотносится со скоростью роста покупательского спроса. Однако она показывает, как сложные результаты могут порождаться даже в простой нелинейной системе. Легко представить себе уровень сложности большой нелинейной системы, такой например, как погода



"Т"

-I-г-г-

3.45 3.54 3.56

2.5 3.0 3.45 3.54 3.56 • 3.75 4 а

Рис. 1.1. Бифуркационная диаграмма: логистическое уравнение.

или активно функционирующий рынок капитала. Уравнение (1.2) - это знаменитое логистическое уравнение, хорошо изученное и описанное в литературе. В главе 10 мы исследуем его поведение более подробно.

Из приведенного выше простого примера нетрудно вывести несколько важных свойств нелинейных динамических систем. Во-первых, это системы с обратной связью. То, что происходит сегодня, зависит от того что было вчера -Pj+i есть результат Pj. Во-вторых, существуют критические у ров-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]