назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


47

НИИ с частными производными. Следовательно, это дискретная Система. Как разностное уравнение оно легко может быть исследовано в электронной таблице путем следующей процедуры:

1. В ячейку А1 поместить начальное значение константы о между О и 1. Начать с 0.50.

2. В ячейку В1 поместить начальное значение х = 0.1.

3. В ячейку В2 поместить формулу:

4*$Л$1*В1*(1-В1).

Заметим, что значение о в ячейке Al остается постоянным.

4. Скопировать ячейку В2 вниз по крайней мере на 100 ячеек.

Посредством построения графика по данным колонки В как временного ряда мы можем изучить переход системы от устойчивости к хаосу.

ПУТЬ к ХАОСУ

Рассматривая временные ряды с о = 0.5, мы можем увидеть, что после начального всплеска система устанавливается на одной устойчивой величине (рис. 10.1). Увеличение о до 0.6 снова демонстрирует сходимость ряда, однако на величине несколько большей.

Количество итераций

Рис. 10.1. Логистическое уравнение; сходимость x{t); а = 0.50.



2В 7S

Количество итераций

Рис. 10.2. Логистическое уравнение: а = 0.75, два периодических решения.

Увеличение а не дает ничего интересного до тех пор, пока мы не достигнем а = 0.75. Неожиданно система перестает устанавливаться на одной величине, а начинает осциллировать между двумя величинами (рис. 10.2). Это расщепление, переход от одного к двум потенциальным решениям называется бифупкяттирй

Если продолжить увеличение а, то приблизительно около 0.87 (точнее -0.86237...) система вновь теряет устойчивость и появляются четыре возможных решения, как это показано на рис. 10.3. При дальнейшем увеличении а система будет вновь и вновь терять устойчивость. Критические величины а Возникают все чаще и чаще и располагаются все ближе друг к другу. При а = 0.886 мы получаем восемь решений, при ° = 0.8911 - шестнадцать, при о = 0.8922 - тридцать два, при °- = 0.892405 - шестьдесят четыре решения. Это увеличение Продолжается до а = 0.90 (точное значение - 0.892486418). "Десь происходит нечто удивительное.

При а = 0.90 система полностью теряет устойчивость. Чис-••о решений становится бесконечным. При взгляде на времен-



Количество итераций

Рис. 10.3. Логистическое уравнение: сходимость x{t); а = 0.87. Че- тыре периодических решения, или четыре возможных конечны: величины.

Количество итераций

Рис. 10.4. Логистическое уравнение: сходимость x{t); а = 0.90-Хаотическое поведение, или бесконечное количество возможных величин.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [ 47 ] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]