НИИ с частными производными. Следовательно, это дискретная Система. Как разностное уравнение оно легко может быть исследовано в электронной таблице путем следующей процедуры:
1. В ячейку А1 поместить начальное значение константы о между О и 1. Начать с 0.50.
2. В ячейку В1 поместить начальное значение х = 0.1.
3. В ячейку В2 поместить формулу:
4*$Л$1*В1*(1-В1).
Заметим, что значение о в ячейке Al остается постоянным.
4. Скопировать ячейку В2 вниз по крайней мере на 100 ячеек.
Посредством построения графика по данным колонки В как временного ряда мы можем изучить переход системы от устойчивости к хаосу.
ПУТЬ к ХАОСУ
Рассматривая временные ряды с о = 0.5, мы можем увидеть, что после начального всплеска система устанавливается на одной устойчивой величине (рис. 10.1). Увеличение о до 0.6 снова демонстрирует сходимость ряда, однако на величине несколько большей.
Количество итераций
Рис. 10.1. Логистическое уравнение; сходимость x{t); а = 0.50.
2В 7S
Количество итераций
Рис. 10.2. Логистическое уравнение: а = 0.75, два периодических решения.
Увеличение а не дает ничего интересного до тех пор, пока мы не достигнем а = 0.75. Неожиданно система перестает устанавливаться на одной величине, а начинает осциллировать между двумя величинами (рис. 10.2). Это расщепление, переход от одного к двум потенциальным решениям называется бифупкяттирй
Если продолжить увеличение а, то приблизительно около 0.87 (точнее -0.86237...) система вновь теряет устойчивость и появляются четыре возможных решения, как это показано на рис. 10.3. При дальнейшем увеличении а система будет вновь и вновь терять устойчивость. Критические величины а Возникают все чаще и чаще и располагаются все ближе друг к другу. При а = 0.886 мы получаем восемь решений, при ° = 0.8911 - шестнадцать, при о = 0.8922 - тридцать два, при °- = 0.892405 - шестьдесят четыре решения. Это увеличение Продолжается до а = 0.90 (точное значение - 0.892486418). "Десь происходит нечто удивительное.
При а = 0.90 система полностью теряет устойчивость. Чис-••о решений становится бесконечным. При взгляде на времен-
Количество итераций
Рис. 10.3. Логистическое уравнение: сходимость x{t); а = 0.87. Че- тыре периодических решения, или четыре возможных конечны: величины.
Количество итераций
Рис. 10.4. Логистическое уравнение: сходимость x{t); а = 0.90-Хаотическое поведение, или бесконечное количество возможных величин.