1.5 1.7 1.9 2.1

1од(количество месяцев)

Рис. 9.7. Д/б-анализ дневной волатильности: S&P 500. Оценка Н = 0.39. Таким может быть только антиперсистентный временной ряд.

НИИ, т. е. распределение дисперсий неопределенно при отсутствующей средней величине. Как и предсказывала гипотеза фрактального рынка, дисперсия в совокупности отсутствует.

ВЫВОДЫ

t5 этой главе сведены воедино элементы теории фракталов, до этого разрозненные. Мы нашли, что большинство рынков капитала в действительности фрактальны. Фрактальные временные ряды охарактеризованы как процессы с долговременной памятью. Они обладают циклами и трендами и являются бедствием нелинейности динамических систем, или детерминированного хаоса. Информация не находит немедленного отражения в ценал, как это утверждает гипотеза эффект>1вного рынка, но, напротив, проявляет смещение в прибылях. Это смещение простирается вперед на неопределенное время, хотя Система может терять память о начальных условиях. На американском рьшке ценных бумаг сохраняется четырехгодичный цикл, в экономике он составляет пять лет. Каждый вре-

менной интервал коррелирует со всеми интервалами, которые следуют за ним. Все шестимесячные периоды скоррелирова-ны со всеми последующими шестимесячными периодами. Все двухгодичные периоды - со всеми последующими двухгодичными периодами. Информация смещает систему до тех пор, пока не явится экономический эквивалент «джокера», чтобы изменить это смещение. Это смещенное случайное блуждание выглядит наглядным описанием многих рынков капитала.

Фракталы описывают, но не объясняют. В части 3 мы рассмотрим теорию нелинейной динамики, объясняющую появление фрактальных структур.

Глава 10

Фракталы и хаос

Мы установили, что фракталы порождаются нелинейными динамическими системами, однако не обсудили, что это означает. В этой главе мы установим интуитивную связь между этими двумя концепциями, что естественным образом приведет к проблематике части 3. Речь пойдет главным образом о логистическом уравнении - математической модели, которая уже была затронута в гл. 1. Логистическое уравнение - это простая одномерная модель, которая демонстрирует богатство хаотического поведения, включая переходы от порядка к хаосу в определенной последовательности. Это уравнение исследовал Мэй (May, 1976), а Фейгенбаум (Feigenbaum, 1983) нашел новую универсальную константу, встроенную в его систему. В дополнение ко всему изображение его возможных решений образует статистическую структуру, в которой легко увидеть фрактал. Поэтому данная глава будет касаться больше этой математической модели, нежели финансовых инвестиций и экономической теории. Как и в других разделах книги, изложение ведется на интуитивном уровне. Тех, кто заинтересован в более строгом математическом изложении, мы отсылаем к статьям Мэя и Фейгенбаума, а также к учебнику Девани (Devaney, 1989).

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Как было показано в гл. 1, обш,ей формой логистического уравнения является:

Xt+i = 4:*a*xt*{l - xt), (10-1)

где О < < 1, О < а < 1.

Логистическое уравнение представляет собой одномерную Нелинейную систему с обратной связью. Оно является также разностным уравнением, в противоположность непрерывной -истеме, такой, как получается из дифференциальных уравне-