Глава 9

Фрактальная статистика

в этой главе мы рассмотрим различие между фрактальным и нормальным выроятностными распределениями. В частности, обобщим математику, лежащую в их основе, и покажем, что нормальная форма является частным случаем фрактальных распределений. С точки зрения математического аппарата данная глава, возможно, не покажется интересной для всех читателей. Однако, ввиду того что фрактальные распределения приобретают большое значение в современных рьшках капитала, как минимум три последних раздела и заключение главы рекомендуем внимательно изучить.

ПАРЕТО (ФРАКТАЛЬНЫЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической .литературе они носят названия «Парето», или «Парето-Леви», или «устойчивые паретовские» распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщение хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному распределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чеМ средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной закон был найден Ципфом (G. К .Zipf, 1948) для частот исполь-

зуемых слов. Ципф обнаружил, что длинные слова используются реже, чем короткие. Лотка (А. J. Lotka, 1926) приводит примеры обратно-степенных законов из области социологии, один из них - публикации научных статей в академических журналах. Чем больше статей опубликовал академик, тем более вероятна его публикация. Это происходит потому, что интенсивность публикаций подкрепляется учаш,имися студентами: большинство хорошо известных и старых членов академии могут быть соавторами, тем самым увеличивая свою продуктивность. Во всех перечисленных случаях утолш,епные хвосты несут на себе влияние обратной связи, которая увеличивает продукцию - в каких бы единицах она ни измерялась. Эффект обратной связи усиливает событие и делает хвосты даже длиннее. Леви взял эти «толстохвостые» распределения и обобнщл все вероятностные распределения таким образом, чтобы включить их в общую картину.

Перед тем как приступить к изучению фрактальных распределений, рассмотрим некоторые характеристики нормальных распределений. Большинство из нас так или иначе имели дело с нормальным распределением. Хорошо знакомая изяш,-ной формы кривая широко используется - достаточно того, что в некотором смысле все мы были проранжировапы «на кривой» еще в школе. Эта кривая описывается формулой, и можно записать логарифм характеристической функции нормального распределения случайной переменной t:

/ 2 \

log/(f) = i*/i*i- (yj (9.1)

где \1 ~ среднее, - дисперсия.

Для этого «стандартного нормального» распределения

среднее равно нулю и стандартное отклонение (квадратный

корень из дисперсии) равен единице. Поскольку нормальное

Распределение применяется, когда t является независимой,

Идентично распределенной (IID) случайной переменной, оно

Рименимо к броуновскому движению и случайным блужданиям.

том* установлено в гл. 2, Башелье первым выдвинул идею о Ни спекулятивные рынки следуют случайным блужда-cor могут быть смоделированы как игра случая. Гаус-Ру гипотеза Башелье продолжает приниматься на ве- смотря на то, что очевидный эмпирический факт ука-

зывает на аномалию отличия от случайных блужданий -об этом говорилось в гл. 3. В частности, частотное распределение прибыли постоянно проявляет большие отклонения, чем это должно было бы быть при наблюдениях в окрестности средней величины (см. рис. 3.1). Это распределение имеет более толстые хвосты и выше пик, чем у нормального распределения. Несмотря на это такое распределение часто описывается как «приблизительно нормальное».

Это «толстохвостое», островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей достаточно сложной формулой:

bg(/(i)) =

= г * а * i - 7 * \t\" * (1 + г * /3 * {t/\t\) *tg(a* . (9.2)

Эта формула имеет четыре характеристических параметра: а, /3, S, 7; здесь J -локальный параметр среднего, 7 -масштабирующий параметр подгонки, например разница между дневными и недельными данными, /3 измеряет асимметрию и может изменяться от -1 до +1- Когда (3 = 0, распределение симметрично. Когда /3 = +1 распределение имеет тсш-стый хвост справа, или скошено вправо. Степень правого скоса увеличивается при приближении /3 к 4-1. Обратное случается при /3 < 0; а измеряет островершинность распределения, так же как и толщину хвостов; а может изменяться в диапазоне величин от О до 2 включительно. Только при а = 2 это рягггрелелеиие "таповится эквивалентны» норлальном Полагая в (9.2) 0! = 2, /3 = 0, 7 = 1 и(5 = 1, получаем уравнение (9.1) - характеристическую функцию нормального распределения. Гипотеза эффективного рынка (ЕМН) предполагает, в сущности, что а всегда должно быть равно 2. Гипотеза фрактального рьшка (FMH) утверждает, что а может изменяться в диапазоне от 1 до 2. В этом состоит основное различие между двумя гипотезами рынка. Однако изменение величины драматически изменяет характеристики временных рядов.

Мы полагаем распределение Парето фрактальным, потому что оно статистически самоподобно по отношению к времени-Если распределение дневных цен имеет среднюю величину и а = а, то распределение пятидневных прибылей должно иметь среднее значение 5 * m и при этом должно остаться