назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]


30

Оценка показателя Херста 97

0.4 О.б О.в t 1.2 1.4 t.6 1.8 2 2.2 2.4 2.е

1од(количество наблюдений)

Рис. 7.3. Д/5-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение Я = 0.5, оценка Н = 0.55.

совское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать Я = 0.5.

На рис. 7.4 показана аналогичная кривая для Я = 0.72 - значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти даннмр (пни т.акжс предст.авлепы па рис. 7.1) были п.олучгпы аппроксимацией обобщенного броуновского движения, более детально описанной в Приложении 3. Такой ряд получен, как было сказано, с учетом памяти о 200 наблюдениях. В имитаторе Херста, использующем смещенную колоду из 27 карт, эффект памяти моделировался джокером. Он мог появляться, в Среднем, после 27 снятий колоды, в продолжение большого количества имитаций. Имитатор Херста располагал памятью о 27 наблюдениях. Долгосрочные корреляции после 27 наблюдений падают до нуля, и при шаге по времени 27 наблюдений Или более система начинает следовать случайным блуждани-• Таким образом, мы могли бы принять эти 27 наблюдений как цикл, или период, системы. Данные, которые были зяты для построения кривых на рис. 7.1 и 7.2, имитируют



I 1.2 1.4 1.6 .в 2

1од(количество наблюдений)

2.2 2.4

Рис. 7.4. анализ: фрактальное броуновское движение. Факт]

ческое Н = 0.72, оценка Я = 0.73.

I 1.2 1.4 1.6 1.8

1-од(количество наблюдений)

Рис. 7.5. Д/5-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое Я = 0.90, оценка Я = 0.86.



фрактальная размерность и Я 99

естественный цикл из 200 наблюдений. Когда мы превышаем iV = 200 (log(200) = 2.3), тогда Л/5-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство Л/5-анализа позволяет нам определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях. На рис. 7.5 показана аналогичная кривая, построенная для Я = 0.90. Действительная Я в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.

ЭМПИРИЧЕСКИЙ ЗАКОН ХЕРСТА

Херст (1951) предложил также формулу для оценки величины Я по значению R/S:

Я = 1о§(Л/5)/1о§(п/2), (7.6)

где п - количество наблюдений.

В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения (7.5) равна 0.50. Федер (Feder, 1988) показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать Я, когда оно больше 0.70, и, наоборот, преуменьшать, если Я < 0.40, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И Н

Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных "">;гисшд при С1учайиим блуждании, равна 1.50. Фрактальная размерность кривой линии равна 1, а фрактальная раз-«ерность геометрической плоскости равна 2. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит как 0Ь1 на полпути между кривой линией и плоскостью.

Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:

D = 2 - Я. - (7.7)

Таким образом, если Я = 0.50, то D = 1.50. Обе величи-jj характеризуют независимую случайную систему. Величи-< < 0.50 будет соответствовать фрактальной размер-ти, более близкой к кривой линии. Это, по терминологии

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89]