Оценка показателя Херста 97
0.4 О.б О.в t 1.2 1.4 t.6 1.8 2 2.2 2.4 2.е
1од(количество наблюдений)
Рис. 7.3. Д/5-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение Я = 0.5, оценка Н = 0.55.
совское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать Я = 0.5.
На рис. 7.4 показана аналогичная кривая для Я = 0.72 - значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти даннмр (пни т.акжс предст.авлепы па рис. 7.1) были п.олучгпы аппроксимацией обобщенного броуновского движения, более детально описанной в Приложении 3. Такой ряд получен, как было сказано, с учетом памяти о 200 наблюдениях. В имитаторе Херста, использующем смещенную колоду из 27 карт, эффект памяти моделировался джокером. Он мог появляться, в Среднем, после 27 снятий колоды, в продолжение большого количества имитаций. Имитатор Херста располагал памятью о 27 наблюдениях. Долгосрочные корреляции после 27 наблюдений падают до нуля, и при шаге по времени 27 наблюдений Или более система начинает следовать случайным блуждани-• Таким образом, мы могли бы принять эти 27 наблюдений как цикл, или период, системы. Данные, которые были зяты для построения кривых на рис. 7.1 и 7.2, имитируют
I 1.2 1.4 1.6 .в 2
1од(количество наблюдений)
2.2 2.4
Рис. 7.4. анализ: фрактальное броуновское движение. Факт]
ческое Н = 0.72, оценка Я = 0.73.
I 1.2 1.4 1.6 1.8
1-од(количество наблюдений)
Рис. 7.5. Д/5-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое Я = 0.90, оценка Я = 0.86.
фрактальная размерность и Я 99
естественный цикл из 200 наблюдений. Когда мы превышаем iV = 200 (log(200) = 2.3), тогда Л/5-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство Л/5-анализа позволяет нам определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях. На рис. 7.5 показана аналогичная кривая, построенная для Я = 0.90. Действительная Я в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.
ЭМПИРИЧЕСКИЙ ЗАКОН ХЕРСТА
Херст (1951) предложил также формулу для оценки величины Я по значению R/S:
Я = 1о§(Л/5)/1о§(п/2), (7.6)
где п - количество наблюдений.
В этой формуле предполагается, что константа а из соотношения (7.5) равна 0.50. Федер (Feder, 1988) показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать Я, когда оно больше 0.70, и, наоборот, преуменьшать, если Я < 0.40, однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И Н
Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных "">;гисшд при С1учайиим блуждании, равна 1.50. Фрактальная размерность кривой линии равна 1, а фрактальная раз-«ерность геометрической плоскости равна 2. Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит как 0Ь1 на полпути между кривой линией и плоскостью.
Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:
D = 2 - Я. - (7.7)
Таким образом, если Я = 0.50, то D = 1.50. Обе величи-jj характеризуют независимую случайную систему. Величи-< < 0.50 будет соответствовать фрактальной размер-ти, более близкой к кривой линии. Это, по терминологии