память о всех предшествующих событиях. Это не кратковре менная память, которую часто называют «марковской». Этс другая память-долговременная, теоретически она сохраняется навсегда. Недавние события имеют влияние большее, че\ события отдаленные, но остаточное влияние этих последню всегда ощутимо. В долговременном масштабе система, кото рая дает статистику Херста, есть результат длинного потоке взаимосвязанных событий. То, что случается сегодня, влияе) на будущее. То, где мы находимся теперь, определяется тем где мы были в прошлом. Время оказьшается важным фактором. Подобно тому как галька увлекается текущей водой сегодняшние события устремляются в будущее. Сила этогс стремления постепенно ослабевает - до тех пор, пока все егс цели и намерения не сведутся к нулю.

Включение «стрелы времени» невозможно в стандартног эконометрике, которая предполагает ряды инвариантными пс отношению к времени. В противоположность этому мы нахо дим, что время - итеративный процесс, подобный игре хаоса в гл. 5. Влияние настоящего на будущее может быть выраже но корреляционным соотношением:

С = 2"- - 1, (7.4;

где С - мера корреляции, Я - показатель Херста.

Имеются три различных классификации для показахеля Херста: 1) Я = 0.5, 2) О < Я < 0.5, 3) 0.5 < Я< 1.0. Я, равное 0.5, указывает на случайный ряд. События случайны t некоррелированны. Правая часть уравнения (7.4) обращается в нуль. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотност*

1,СрОЯТППСт1Т МПЖОТ б),;ТТ. ;!Ор>!.Т,ЛЫ!~>Й КрИРЙ однако (то н(

обязательное условие. /?/5-анализ может классифицировап произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распре деления ему соответствует. В курсах статистики нам говорят что природа следует нормальному распределению. Открыт* Херста это положение опровергает. Показатель Я, как правило, бывает больше 0.5, а вероятностные распределения Ж являются нормальными.

Перед тем как изучить этот класс, стоит кратко обсудит! случай О < Я < 0.5. Данный диапазон соответствует анти-персистентным, или эргодическим, рядам. Такой тип системы часто назьшают «возврат к среднему». Если система демой стрирует рост в предыдущий период, то скорее всего в следУ ющем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение

Метод имитации Херста 89

то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперси-стентного поведения зависит от того, насколько Н близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе С в уравнении (7.4) к -0.5, или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив, или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. Несмотря на широкое распространение концепции возврата к среднему в экономической и финансовой литературе, до сих пор было найдено мало антиперсистентных рядов.

При 0.5 < Я < 1.0 мы имеем персистентные, или трендо-устойчивые ряды. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Тренды очевидны. Трендо-устойчивость поведения, или сила персистентности, увеличивается при приближении Н к единице, или 100% корреляции, в соотношении (7.4). Чем ближе Н к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный ряд - это обобщенное броуновское движение, или смещенные случайные блуждания. Сила этого смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5.

Персистентные временные ряды являют собой более интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, ~ это открытие принадлежит Херсту, - но и свойственны рынкам капитала. Однако, что выступает причиной персистентности? Почему ряды обладают эффектом памяти?

МЕТОД ИМИТАЦИИ ХЕРСТА

Возможно лучшим способом понять, как возникает статистика Херста и что она означает, является собственный метод Херста имитации случайного блуждания.

Херст работал в 40-х годах, когда компьютеры были всего лишь теоретической возможностью и уж определенно их было в Египте. Херст пытался имитировать случайные

луждания подбрасыванием монеты, однако счел этот про-Цесс слишком медленным и утомительным. Вместо этого он изготовил «вероятностную колоду карт». Карты в ней были домечены числами -1, +1, -3, +3, -5, +5, -7, +7. Колода

мела 52 карты, и числа были распределены таким образом, приблизительно давали нормальную кривую. Перетасо- колоду, снимая ее и замечая открытую карту, Херст

мог имитировать случайный ряд быстрее нежели подбрасыванием монеты.

Для имитации смещенного случайного блуждания Херст во-первых, перетасовывал колоду, затем снимал ее и записывал число с открытой карты. Предположим, выпадало +3. Карта возвращалась на место, Херст опять перетасовывал колоду и делал из нее две по 26 карт в каждой. Мы назовем их А и Б. Поскольку перед этим была снята карта с числом +3, он! перекладывал три старшие карты из колоды Б в колоду А, ai из колоды А убирал три младшие карты. Кроме того, в колоду А добавлялся джокер, после чего она перетасовывалась. Колода А имела теперь смещение +3. Херст использовал колоду А как генератор случайных чисел путем снятия ее и фиксации числа на открытой карте. Когда ею оказывался джокер, снова бралась исходная колода из 52 карт (без джокера) она перемешивалась и процесс повторялся.

Херст провел шесть экспериментов, каждый из них состоял из тысячи снятий колоды. Таким способом он нашел Н - 0.714 ± 0.091, приблизительно такую же величину он получал в итоге природных наблюдений. И снова возникал вопрос: что это означает?

Смещение в эксперименте Херста создавалось снятием колоды карт. В приведенном примере при снятии колоды выпало -f 3. Изменение в смещении также происходит, когда при снятии колоды оказывается джокер. При этом сколько бы раз ни повторяли эксперимент, неизменно оказывается Н = 0.714. (Этот результат очень похож на игру хаоса в гл. 5, где случайно применяемое правило генерации порождает один и тот же фрактал. Снова сл.тайтгост!. ."тдаот порядок.)

В имитаторе Херста случайное событие (первоначальное снятие колоды карт) определяет степень смещения. Другое случайное событие (появление джокера) обусловливает длину смещенного пробега. Однако два этих случайных события имеют пределы. Степень смещения ограничена экстремумами +7 и -7. Смещение в этой системе изменяется в среднем после 27 снятий колоды, потому что в смещенной колоде содержится 27 карт. Снова комбинация случайных событий создает упорядоченную структуру. Однако в противоположность игре хаоса это статистическая структура, и она требует внимательной проверки: если рынки капитала образуют статистики Херста (а это так и есть), то тогда их вероятностные распределения не являются нормальными. Если случай-