Рис. 6.1. Вычисление фрактальной размерности.

Уравнение (6.1) может быть приведено к отношению логарифмов:

log TV

log(l/2*r)"

(6.2)

Можно использовать некоторую часть снежинки Кох в качестве простейшей береговой линии; средняя треть этой линии несет на себе равносторонний треугольник. Если длине этой ломаной цепочки равна единице, то тогда нам нужно четыре окружности диаметром 0.3, чтобы покрыть эту кривук (см. рис. 6.1). Фрактальная размерность кривой Кох будет равна:

log(4) log(l/0.3)

= 1.26.

Реальные берегпые линии утрорньт аналогичныл" обпа-зом. Береговая линия Норвегии, например, имеет фрактальную размерность, равную 1.52, в то время как берег Британии-1.30. Это означает, что береговая линия Норвегии более изрезана, чем в Британии, и поэтому ее размерност! ближе к 2.00. Подобным же образом мы могли бы сравни вать разные акции - посредством указания их фрактальиьп размерностей. Обычно мы сравниваем риски различных цен ных бумаг посредством оценки их волатильности. Эта концеп ция была впервые широко представлена в работе Марковицг (Markovitz, 1952); она предполагает, что чем выше волатиль ность акции, тем выше ее уровень риска. Волатильность, ил1 риск, утверждался в качестве статистической меры, будуч! представленным как стандартное отклонение прибылей - ил1

их квадратов, т. е. дисперсий. Волатильность предлагают измерять дисперсией прибылей, не так ли?

Стандартное отклонение измеряет вероятность того, что наблюдение будет располагаться на определенном расстоянии от среднего. Чем больпхе это расстояние, тем больше рассеяние. Большое рассеяние означало бы, что существует высокая вероятность больших колебаний прибыли. Такая ценная бумага обладает высоким уровнем риска. Однако часто упускают из виду, что стандартное отклонение как мера рассеяния подходит только для случайных систем. Если наблюдения коррелированны (или имеют серийную корреляцию), то тогда польза стандартного отклонения как меры рассеяния в значительной степени снижается. Поскольку многочисленными исследованиями установлено (см. гл. 3), что распределение прибылей акции не следует нормальному распределению, стандартное отклонение как мера сравнения уровней риска ставится под вопрос.

Рассмотрим для примера два ряда возможных прибылей, обозначенных 5i и 52 в таблице 6.1. Ряд 52 не нормально распределен и имеет выраженный тренд. Ряд 5i не показывает тренда и имеет накопленную прибыль 1.93%, в то время как 52 имеет 22.83%. Однако 5i имеет стандартное отклонение 1.70, в то время как 52 имеет фактически то же самое стандартное отклонение -1.71. В этом гипотетическом примере две акции с фактическими одинаковыми волатильностя-ми имеют совершенно различные характеристики прибылей. Пуристы скажут, что оба ряда не нормально распределены, и это делает их сравнение невозможным. Это совершенно вер-

Таблица 6.1. Стандартное отклонение в сравнении с фрактальной размерностью.

людение

Накопленная прибыль

тандартное отклонение ктальная размерность

+2 -1 -2 +2 -1 +2

+1.93 1.70 1.41

+6 +22.83 1.71 1.13

ная точка зрения. Поскольку прибыли акции явно не нормально распределены, использование стандартного отклонения как меры для сравнения рисков некорректно - так же как некорректно использование длины при сравнении береговых линий. Фрактальная размерность ряда Si равна 1.41, ряда 52 - 1.13. Ряд 5i явно более зазубрен, чем 52, и его фрактальная размерность качественно отлична.

Две акции с одинаковой волатильностью, следовательно, могут иметь очень разные модели прибылей. Одна имеет «зыбкое» (почти случайное) поведение, вторая - персистент-ный тренд. Волатильность - не подходящая мера риска при сравнении этих двух ценных бумаг. Их фрактальные размерности дают нам другой взгляд на проблему, как это мы увидим в следующих главах.

ВЫВОДЫ

фрактальная размерность показывает нам, как форма или временной ряд заполняют пространство. Способ заполнения объектом пространства определяется теми силами, которые определили его формирование. Для береговой линии такими силами выступает геологическая активность, обусловливающая ее формирование: давление ветра, вулканические явления и др. Для временного ряда прибыли акции - это микро-и макроэкономические факторы, влияющие на инвесторские ожидания. Различные акции могут по-разному реагировать на одни и те же макроэкономические новости по причине различий видов производств, балансов и перспектив. Заметим, тугтт! лтотл ""«кружнетрй пття опррдрпрния фрактя.пьной размерности неудобен в практическом отногпении.

Мы пока еще не исследовали влияние фрактальной размерности на вероятностные распределения. Мы видели, что фрактальные формы и временные ряды характеризуются долговременными корреляциями. Они не следуют с необходимостью случайным блужданиям. Их вероятностное распределение не является нормальным распределением (хорощо известной изящной кривой), но являет собой другую форму

В следующих главах мы изучим это влияние долговре- менных корреляций на временные ряды, которое порождас!"! фракталы. Мы увидим, что нагпе статистическое определе ние риска как стандартного отклонения прибылей нуждается в серьезной корректировке.