тема не знает, куда она двинется до того, как выпадет очередная цифра. Предсказать направление здесь невозможно. Но получив информацию, процесс направляется внутренним детерминистическим правилом. Результатом является целый диапазон возможностей, но количество возможностей бесконечно. Эта структура - бесконечные возможности внутри конечного диапазона - есть аттрактор, или предел, множества, задаваемого данной IFS.

Заметим, что этот аттрактор неслучаен, хотя он имеет бесконечное количество возможных решений. Каждая точка внутри треугольника появляется по-разному. Пространство внутри треугольника имеет нулевую вероятность обнаружить себя, хотя этих пространств - бесконечное количество.

Положение каждой точки зависит от того, где расположилась точка предыдущая. В действительности место каждой точки зависит от положения всех предыдущих, несмотря на то что информация, используемая при вычерчивании IFS, генерируется как случайная.

Как мы увидим в гл. 7, эта комбинация случайных событий и зависимости является характеристикой фрактальных временных рядов.

Так что же, следовательно, являет собой фрактал? Фрактал есть аттрактор (предельное множество) порождающего правила (информационного процессора). Это - некое самоподобие, в котором меньшие части соотносятся с целым. Оно имеет фрактальную размерность. Это более сложное определение, чем приведенное ранее. Однако не существует абсолютно точного определения фрактала. Возможно, когда-нибудь оно буде! найдсни, Ни хакиЮ .миЖ1.1 и НС случиться Ы:.Г<У того, что фрактальная геометрия есть геометрия природы. Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы.

Мы видели, что существует два типа фракталов: детерминистические и случайные. Детерминистические фракталы в большинстве случаев симметричны. Случайные фракталы не всегда включают в себя части, которые выглядят похожими на целое. Части и целое могут соотноситься качественно. Мы увидим, что фрактальные временные ряды качественно само-подобны, ибо в разных масштабах длительности они имеют одинаковые статистические характеристики. Если они проявляются как характеристики нормального распределения, значит налицо нормальное распределение. Однако фракталь-

ный временной ряд может иметь только фрактальную размерность, в то время как размерность нормального распределения равна 2, а это меняет многие характеристики временного ряда.

Далее мы бегло рассмотрим концепцию фрактальной размерности. Она настолько важна, что достойна самостоятельной главы.

Глава б

Фрактальная размерность

Страница, которую вы читаете, представляет собой трехмерный кусок бумаги. Предположим, что она не имеет толщины, а в действительности двумерна, т. е. является куском евклидовой плоскости. Если бы вы вырвали этот двумерный лист из книги и смяли в комок, то этот объем бумаги не был бы уже двумерным, но и не был бы в точности трехмерным. Бумага была бы вся в складках, и ее размерность была бы меньше трех. Чем больше спрессовывать бумагу, тем будет ближе ее размерность к трем, т. е. к размерности сплошного тела. Только если бы исходная страница бьгла изготовлена из пластичного материала вроде глины, она, будучи сжата в комок, могла бы спрессоваться до истинно трехмерного тела. Но бумага всегда имеет складки.

Бумажный комок имеет дробную, или «фрактальную», размерность. Она не является целочисленной. Евклидова геометрия с ее чистыми гладкими формами не может описать размерность бумажного шара. Он не может быть представлен с помощью евклидовой геометрии кроме как посредством большого количества линейных интерполяций. В терминах математического анализа поверхность такого шара не диффсреххцируема.

Мы склонны думать обо всех объектах, которые имеют глубину, как о «трехмерных». С точки зрегшя математики это неверно. Линия, прочерченная в трехмерном пространстве, имеет глубину, но эта линия остается одномерной. Истинно трехмерный объект - сплошное тело, не имеющее отверстий или трещин на своей поверхности. Вот почему представление естественных форм с помощью евклидовой геометрии является столь трудным. Большинство реальных объектов не оплошны в классическом, евклидовом смысле они имеют бреши й полости. Они просто располагаются в трехмерном пространстве.

Неспособность евклидовой геометрии описать большинство естественных объектов ограничивает нашу способность