назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


6

г =

(1 + г)"

и дюрация равна t. Назовем такую задолженность облигацией 1. Рассмотрим две бескунонныс облигации с номинальными стоимостями Ci и Сг и временами погашения ti и соответственно. Тогда

р2

(1 + г) (1 + г)"

Портфель из двух таких облигаций назовем облигацией 2. Предположим, что

li<i<h, Р=Р\ и D = D\

где а - дюрации облигаций 1 и 2 соответствслло.

Пример

Рассмотрим текущую стоимость как функцию процентной ставки для двух потоков платежей: Альтернатива А;

В конце года 10 платеж равен $109. Других платежей нет. Альтернатива Б:

В конце года 2 платеж равен $22, а в конце года 18 - $135. Других платежей нет.

Альтернатива А имеет дюрацию 10. Если процентная ставка равна 12%, то дюрация альтернативы Б также равна 10. Заметим, что хотя дюрация каждой из компонент альтернативы Б известна (2 и 18 соответственно), мы не можем определить дюрацию этого потока платежей в совокупности, НС делая предположений о процентной ставке. При ставке 12% оба этих потока платежей имеют одинаковую текущую стоимость. Текущая стоимость (ТС) как функция процентной ставки определяется следующей таблицей:



[ентная

ТС(А)

ТС(Б)

Дюрация Б

ТС(Б)-

ставка

-ТС(А)

0.05

66.92

7G.05

13.80

9.13

0.06

60.86

60.88

13.32

6.02

0.07

55.41

59.16

12.80

3.75

0.08

50.49

52.65

12.27

2.16

0.09

46.04

47.14

11.71

1.10

0.10

42.02

42.46

11.15

0.44

0.11

38.39

38.49

10.58

0.10

0.12

35.09

35.09

10.00

0.00

0.13

32.11

32.19

9.44

0.08

0.14

29.40

29.69

8.88

0.29

0.15

26.94

27.54

8.34

0.60

0.16

24.71

25.68

7.81

0.97

0.17

22.68

24.07

7.32

1.39

0.18

20.83

22.66

6.84

1.83

Отмстим, что текущие стоимости равны при 12% (когда равны дюрации), а при любых других процентных ставках альтернатива Б всегда более ценна, чем альтернатива А.

Покажем, что соотношение между стоимостью облигаций и доходностью к погашению, продемонстрированное на этом примере, имеет общий характер.

Таким образом, когда доходность к погашению возрастает, текущая стоимость задолженности падает сильнее, чем текущая стоимость облигации 2, в то время как, если доходность падает, то стоимость задолженности растет медленнее, чем стоимость облигации 2. Поэтому облигация 2 "защищает" задолженность. Доказательство заключается в следующем. Мы знаем, что эти две облигации имеют одинаковые стоимости и одинаковые дюрации при ставке г. Это означает, что две кривые должны касаться в точке (г,Р). Известно также, что цепа убывает при возрастании доходности, поэтому обе кривые наклонены вниз. Теперь покажем, что вторая производная



для первой кривой меньше, чем для второй кривой при равной дюрации. Значит, кривые касаются в точке (г, Р), причем вторая лежит выше первой, что и показано на рисунке:

Результат для вторых производных вытекает из неравенства Йенсена следуюш;им образом:

= -1С{1 + гГ-\

дР дг

:-<lCi(l + r)--l-t2C2(l + r)--\ дР

= t(t + 1)С(1 + г)--=

tC tC

(H-r)+2 (H-r)+2

. (l + r)2 LP(l + r)

Аналогично

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]