купонные выплаты сразу реинвестируются под процент, соответствующий текущей доходности к погашению. В мире без неопределенности процентных ставок будущие значения доходности к погашению точно определены, и для держателя облигаций нет реинвестиционного риска (reinvestment risk). Однако на практике неопределенность процентных ставок имеет место, поэтому изменения доходности имеют стохастический характер и существует реинвестиционный риск.
1.1 Риск, связанный с изменением процентной ставки, и теорема об иммунитете облигаций
Одним из способов контроля риска при изменении цен облигаций в связи с изменением процентных ставок (процентный риск), или хеджирования (hedging) риска, является управление дюрацией портфеля облигаций и использование теоремы об иммунитете. Понятие дюраци (duration) было впервые введено Макколи и характеризует чувствительность стоимости облигаций к изменению процентных ставок. Ниже мы временно опустим индексы при г для упрощения обозначений. Пусть г обозначает доходность облигации к погашению, тогда г удовлетворяет уравнению:
С С С C + -F
1 + г+ (1 + г)2 + ---+ (1-brf-i + (l + r)
где С - выплата по купону, F - номинальная стоимость облигации, Г - срок погашения и Р - текущая цена облигации. Перепишем равенство:
р=х:с,(1+г)л (=1
где с, = с при < < г и Ст = с + р.
Тогда можно записать дР
dPjp с,
дг1{1 + т) Р(1 + г)-
Формально Левая часть равенства является эластичностью цены облигации по отношению к (1 -f г) и характеризует процентное изменение цены облигации но сравнению с процентным изменением (1 -Ь г). Но есть и другая интерпретация. Заметим, что С((1 -f г)~*~ является текущей стоимостью платежа в периоде t. Поскольку
Г
р = Т -
1 = Е
Wt =
Р(1 + гу
является долей цены, которую вносит платеж в момент времени t.
Теперь мы можем переписать то же равенство как
дР/р
дг/{1 + г)
и поскольку
эта эластичность равна средневзвешенному времени погашения с весами №<. Тогда определим дюрацию Макколи так:
с дР/Р
Отметим, что дюрация бескупонной облигации в точности равна времени погашения, в то время как для купонной облигации она меньше этого времени.
Поскольку дюрация характеризует чувствительность цены облигации, или, в более общем смысле, потока платежей, к изменению доходности к погашению, мы можем пытаться управлять риском, связанным с изменением процентной ставки, используя дюрацию. Например, предположим, что вы должны заплатить $1000 ровно через два года. Тогда дюрация вашей задолженности равна 2. Одним из способов защиты от изменения процентных ставок является покупка бескупонной облигации с номинальной стоимостью $1000, погашаемой через два года. Если - процентная ставка на два года, то эта покупка обойдется вам в 1000/(1 -f ог) и ваши обязательства будут в точности соответствовать вашим активам.
Теорема об иммунитете (впервые получена Самуэльсоном) утверждает, что риск, связанный с изменением процентных ставок, можно хеджировать, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Это правило основано на том факте, что процентный риск возрастает с уменьшением цены облигации и, наоборот, уменьшается с увеличением цены, и что облигации с разными сроками погашения реагируют по-разному на изменения процентных ставок. В результате, если процентная ставка растет, доход от реинвестиции купонов возрастает, но рыночная стоимость облигации падает, и наоборот, если процентная ставка падает, то стоимость облигации растет. Проиллюстрируем это правило на примере простого обязательства выплатить $С в момент времени t. Тогда текущая стоимость задолженности равна