пому предложению рисковых активов (т. е. Л,(лг)). Исходя из этих условий получим равновесную цепу как линейную функцию относительно d и Л,(л)- Итак,
r = a,{P)d + a2iP)X,.y 01.3)
Заметим, что для любого множества начальных ожиданий рыночная равновесная цепа является сумюй двух гюрмаль-по распределенных случайных величин. Коэ4фициептьг в этой линейной функции являются, в свою очередь, функциями ко-Э({фициептов в правилах пропюзирования трейдеров, задаваемых уравнением (-1.2) (Р - вектор коэффициегггов). В этой экономике наблюдаемыми (ех ante или ех post) величинами являются случайные величи1гы d, F и Y - псе тюрлгалыю распределенные со следующей ковариационной матрицей:
d Г Y
d а otiOj а
7 <d "K + S
В данной линейной экономике оптимальные правила пропюзирования определяются с помощью метода наименьших квадратов. Из анализа вышеприведенной ковариациошюй матрицы и уравнения (4.3) следует, что элементы, включаюпхис це1гы Р, являются функциями прогнозных весовых коэффициентов каждого трейдера. Таким образом, данные коэффициенты определяют цены ех ante, а с помощью метода наименьших квадратов мы можем вычислить отображение, определяющее пересчет каждым трейдером своих правил прогнозирования на основании информации, полученной по реализованным значениям d. Обозначим это отображение через Л/, так что М{Р) = {Мо{Р), Mi{P), М2(Р)). В равновесии при рациональных ожиданиях мы должны получить неподвижную точку: М{Р) = {PI,P{,P2)i так что коэффициенты правил
прогнозирования остаются псизысппьши нри пересчете в свете реализованных состояний. Построение равновесия irpn рациональных ожиданиях с помехами как неподвижной точки такого отображения можно 1]роиллюстрировать слсдзющим образом.
Па основании предыдущего отображение для нсресчега Л/(/3) вьггасляется как сложная функция от а{Р), неносрсд-ствеппо с помощью метода наименьших квадратов. Отсюда получаем (в предположении, что переменные понимаются как отклонения от их средних значений, так что Ро = 0):
М,{0) = ЩР,
Эти фу1гкции получены 1ГСПосредственно из копариациогг-1ЮЙ матрицы; V ость детерминант подматрицы, задалпюй Р и 7-
Отсюда можно получить следующий результат: Если Р( = 1/(1 + SV) и Pi = S\al/{{\ + Shy, + SV), то М{Р)=Р,
где 11тлг оо axi(N)/{/y = т > О, так что дисперсия агрегированного предложения отделена от пуля в случае, когда эко-]юмика достаточно большая. Наконец, подставив равновесные весовые коэффициенты в уравнение (4.3), получим рав1ювес-ную цену при рациопальпых ожиданиях с помехами.
4.8 Приложение:
премия за риск в форвардных цепах
JfycTb и - ({упкция полезности, Со - TCK}-ui,cc потрсблспио, Ci - потребление через один период. Тогда полезность инвестора равна
и {Со) [и {С,)].
Пpeдпoлoжиr, мы просим инвестора вложить аГ сегодня: с получением о(1 4- r)S завтра, а инвестор выбирает значение о. Безразличие для инвестора между потреблением Со - аГ сегодня и случайным потреблением Ci -f- а(1 -- r)S означает, что производная по о равна 1гулю, т. е.
(i/(Co - oF) + E[U{C, + а{\+ r)S)}) 0. Подставляя а = О, получаем
FU{Co) = i\ +r)E{SU{C,)].
Обозначим через М = U{Ci)/U{Co) предельную 1юрму замещения между нынентим и будущим потреблением. Тогда
F {]. + r)E{SM).
Легко видеть, что E{SM) - E{S)E{AJ) -f- cov(5, .U). 1Год-ставляя, получим
F = {\ + r)E{S)E{M) + {i + r)cov{S,M).
Пиже показывается, что Е{М) - 1/(1 -f- г). Отсюда получаем
F E{S) + {l + r)cow{S,M).
Таким образом, форвардная цепа panira ожидаемой цене акции плюс премия за риск, и эта премия связагга с ковариацией