назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


42

пому предложению рисковых активов (т. е. Л,(лг)). Исходя из этих условий получим равновесную цепу как линейную функцию относительно d и Л,(л)- Итак,

r = a,{P)d + a2iP)X,.y 01.3)

Заметим, что для любого множества начальных ожиданий рыночная равновесная цепа является сумюй двух гюрмаль-по распределенных случайных величин. Коэ4фициептьг в этой линейной функции являются, в свою очередь, функциями ко-Э({фициептов в правилах пропюзирования трейдеров, задаваемых уравнением (-1.2) (Р - вектор коэффициегггов). В этой экономике наблюдаемыми (ех ante или ех post) величинами являются случайные величи1гы d, F и Y - псе тюрлгалыю распределенные со следующей ковариационной матрицей:

d Г Y

d а otiOj а

7 <d "K + S

В данной линейной экономике оптимальные правила пропюзирования определяются с помощью метода наименьших квадратов. Из анализа вышеприведенной ковариациошюй матрицы и уравнения (4.3) следует, что элементы, включаюпхис це1гы Р, являются функциями прогнозных весовых коэффициентов каждого трейдера. Таким образом, данные коэффициенты определяют цены ех ante, а с помощью метода наименьших квадратов мы можем вычислить отображение, определяющее пересчет каждым трейдером своих правил прогнозирования на основании информации, полученной по реализованным значениям d. Обозначим это отображение через Л/, так что М{Р) = {Мо{Р), Mi{P), М2(Р)). В равновесии при рациональных ожиданиях мы должны получить неподвижную точку: М{Р) = {PI,P{,P2)i так что коэффициенты правил



прогнозирования остаются псизысппьши нри пересчете в свете реализованных состояний. Построение равновесия irpn рациональных ожиданиях с помехами как неподвижной точки такого отображения можно 1]роиллюстрировать слсдзющим образом.

Па основании предыдущего отображение для нсресчега Л/(/3) вьггасляется как сложная функция от а{Р), неносрсд-ствеппо с помощью метода наименьших квадратов. Отсюда получаем (в предположении, что переменные понимаются как отклонения от их средних значений, так что Ро = 0):

М,{0) = ЩР,

Эти фу1гкции получены 1ГСПосредственно из копариациогг-1ЮЙ матрицы; V ость детерминант подматрицы, задалпюй Р и 7-

Отсюда можно получить следующий результат: Если Р( = 1/(1 + SV) и Pi = S\al/{{\ + Shy, + SV), то М{Р)=Р,

где 11тлг оо axi(N)/{/y = т > О, так что дисперсия агрегированного предложения отделена от пуля в случае, когда эко-]юмика достаточно большая. Наконец, подставив равновесные весовые коэффициенты в уравнение (4.3), получим рав1ювес-ную цену при рациопальпых ожиданиях с помехами.



4.8 Приложение:

премия за риск в форвардных цепах

JfycTb и - ({упкция полезности, Со - TCK}-ui,cc потрсблспио, Ci - потребление через один период. Тогда полезность инвестора равна

и {Со) [и {С,)].

Пpeдпoлoжиr, мы просим инвестора вложить аГ сегодня: с получением о(1 4- r)S завтра, а инвестор выбирает значение о. Безразличие для инвестора между потреблением Со - аГ сегодня и случайным потреблением Ci -f- а(1 -- r)S означает, что производная по о равна 1гулю, т. е.

(i/(Co - oF) + E[U{C, + а{\+ r)S)}) 0. Подставляя а = О, получаем

FU{Co) = i\ +r)E{SU{C,)].

Обозначим через М = U{Ci)/U{Co) предельную 1юрму замещения между нынентим и будущим потреблением. Тогда

F {]. + r)E{SM).

Легко видеть, что E{SM) - E{S)E{AJ) -f- cov(5, .U). 1Год-ставляя, получим

F = {\ + r)E{S)E{M) + {i + r)cov{S,M).

Пиже показывается, что Е{М) - 1/(1 -f- г). Отсюда получаем

F E{S) + {l + r)cow{S,M).

Таким образом, форвардная цепа panira ожидаемой цене акции плюс премия за риск, и эта премия связагга с ковариацией

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]