4.6 Арбитраж и эффективность рынка

Гипотеза об э4»1»ективтюсти рынка занимает фундаментальное положезгие в теории (JimrancoB, поэтому значительные усилия направляются на изучение взаихюсвязи лгсжду иН(})орми-ровапностыо и ценами. Фактически мы до сих нор не обсуждали механизм агрсгировазшя информации в згенах. ГГанример, если часть трейдеров знает, что в будущем цепа акции будет либо О, либо 25, а другие знают, что сл\чится О или J5, то модель рациональных ожидапий предсказывает, ч го цена равна 0. Однако модель рациона.11Ьных ожиданий ничего не говорит о том, как цены упадут до нуля. Если ]ice состояния равтювероятны, то в данном примере весьма тгравдонодобно, что цены будут ко.лебаться вблизи 20, поскольку это ожидаемая стоимость для одной группьт трейдеров и одна из воз-можзгых стоимостей для другой группы. Обьяспепис реакции цеп на информированность является одной из наиболее сложных проблем, возникающих перед участггиками рынка. Здесь, па от][осительно npocioivr пpиrepe, мы покажем, что если па рынке имеется достаточно много производных ][етгных бумаг (в частности, опционов), то, если рынок згсэффективеп, кто-либо из трейдеров будет обладать возможностями для арбитража. Это сильный аргумент в пользу эффективности. Напомним, что возможность арбитража означает, что трейдер может получить чистый доход без каких-либо расходов.

В нашем обсуждении роли опционов для эффективности рынка мы будем использовать следугопщй нриьгер. Игеется один вид акций, и стоимость акции в будущем задается таблицей:

Cocmotrmie Стоимость X О

У 25

Z 45

Помимо акций ла рьшке обращаются колл-ояиио]1Ы с ценой испол]1сния 30 и н}Т-опционы с ценой исполнения 30, оба сроком на один период. Для того, чтобы еще больше )про-стить пример, предноложихг, что безрисковый irpoHoirr равен пулю (в ]фотивнол[ случае нам следовало бы дисконтировать все будущие платежи па безрисковый процент).

Предположим, что истинным является состояние г и некоторые трейдеры (типа TV) знают, что истинное состояние "не J/", другие (типа 72) зтгают, что истшшос состояние "не г".

В равзгавссии при рациональных ожидазшях (llEE) цепа акции равна О, а цсзгы отгционов в таком равзювссии вычисляются следующим образом. Как мы знаем из раздела, посвященного опционам, колл-опцион должен иметь цетгу С - тах{0,5 - 30}, а нут-от[иоп - цену Р = тах{0,30 - S], где S - ]1сна акции. Таким образом, REE-цсна колл-опциона равна О и REE-цсиа нут-опциона равна 30. Заметим, что эти цепы основатгы на понятии равновесия при рациональных ожи-дазгиях, что в дaннor случае означает, что пет никакой пс-опрсдслс][ности, поскольку цена акции выявила всю наличную информацию.

Ч1обы увидеть роль производных бумаг для э<}>фсктивно-сти рьшка, рассьютриы два типа трейдеров и их информиро-ватюсть:

Тип трейдера Иmfi ормация Возможные цены Т1 не у О, 45

Т2 не Z О, 25

Рассмотрим портфель, состоящий из -Ы акции и -3 колл-опционов. Пусть S означает цену акции, С - цену колл-опциопа и Р - цс]1у нут-о]щиопа. Тогда для трейдера типа 71 этот портфель приносит О независимо от того, будет цепа акции О или 45. Отсутствие арбитража требует, чтобы цепа портфеля равнялась пулю, т. е. 5 - ЗС = 0. Если 5 - ЗС < О,

то трейдер типа 21 должен купить столько портфелей, сколько возможно, поскольку он получит доход при покупке, а потери в конце периода будут равны пулю. Аналогично, если 5 - ЗС > О, то трейдер 71 должен продавать сколько возможно.

Трейдер Т2 знает, что колл-опцион ничего не принесет (поскольку цепа иснолнения равна 30), так что полумаем С = 0. Вместе эти два ограничения дают 5" = О, С = 0. Чтобы определить цену пут-опциона, исхюльзуем взаимосвязь "iiyT-колл" (эго соотношение обсуждалось в раздсгге, посвя-тценпом опционам): 5 -j- 7 - С = 30, отк}ла получаем Р = 30.

Заметим, что требование отсутствия арбитража реалыю накладывает огразгичения па цепы покупки и продажи (бидь: и аски), поскольку единственный способ получить арбитраж-]1ЫЙ выигрыш - это принять имеющийся бид или аск. Таким образом, отсутствие арбитража подразумевает, что

1. 5" -ЗС > О, так что трейдер Т1 не может купить такой портфель но отрицательной цене,

2. 5 - ЗС" < О, так что трейдер 71 не хюжст продать такой портфель по положительной цене,

3. С < О, так что трейдер Т2 не кюжет продать колл-опцио]! но положительной цепе,

4. С" > О, так что трейдер Т2 не может купить колл-опцион но отрицательной цене.

Поскольку биды и аски должны быть неотрицательны, условие 3 сводится к С = О, а условие 4 является itecyme-ствепным.

В этом примере мы обратились к двум портфелям: 5 - ЗС = 0иС = 0, ]газываемым "сепарирующими", поскольку они разделяют информацию двух типов трейдеров. Оказывается, что для каждого из трех состояний отсутствие арбитража влечет рациональные ожидания. Сепарирующие портфели для двух типов трейдеров приведены в таблицах: