Здесь

= "t/") + il/2)aVT, d, = d,- aVT.

3.10 Американский колл-опцион

Анализ европейского колл-опциона, проведенный нами выше, применим и к американскому колл-опциону, по крайней мере если до наступления срока погашения не выплачиваются дивиденды. Чтобы убедиться в этом, вернемся к однопериод-1юй биномиальной модели. Цена колл-опциона С удовлетворяет следующей цепочке соотношений:

Сг = 7гС„ + (1 - 7г)С<г =

= тгта.х{0, Su - Х} + {1 -k)ma.x{0,Sd- X} = = 7гтах{Х,5и}-Ь (1 - 7r)max{X,5d} - X > Sr - X, откуда

С > 5 - Х/г > S -X, так как г > 1.

Таким образом, цена колл-опциона превышает доход от его исполнения, т. е. колл-опцион не будет исполнен досрочно.

3.11 Американский пут-опцион

Оценим теперь выгодность досрочного иснолнения пут-опциона:

Рг = 7гР„-t-(1 - 7г)Р<г = = 7гшах{0,Х - 5и}-Ь (1 - 7г)шах{0,Х - 5d} = = A-t-7rmax{-X,-5u}-t-(l-7r)max{-X,-5d} =

= X - тг mm{X, 5u} - (1 - тг)тш{Х, Sd} > > X -Sr,

следовательно, P > X/r- S. Тем не менее досрочное исполнение может оказаться выгодным, поскольку может оказаться, что

X -S> P>X/r-S.

Фактически, если 5 находится на достаточно низком уровне по отношению к X, исполнить пут-онцион выгодно. Например, если X > Su, так что опцион будет обязательно исполнен в конце срока, нейтральная к риску оценка составит

Р = (Х - Su) + -{Х - Sd),

так что Р = X/r-S, что строго меньше, чем X-S, поскольку г > 1. В этом случае нут-опцион следует исполнить досрочно.

Из-за возможности досрочного погашения мы не можем использовать формулу Блэка-Шоулза для оценки американского пут-опциона. Фактически таких формул нет, и для вычисления цены приходится прибегать к численным методам. Один из таких методов (Кокс, Росс, Рубинштейн) использует биномиальную аппроксимацию, когда в каждом узле оценивается возможность досрочного погашения.

3.12 Дивиденды и американские колл-опционы

Еще один случай, когда досрочное исполнение оказывается выгодным, возникает при выплате дивидендов. Пусть текущая цена акции есть 5 и на одну акцию полагается дивиденд D в конце периода, когда наступает срок погашения колл-опциона. Тогда в однопериодной биномиальной модели цена изменяется следующим образом:

Su - D

Sd - D

Заметим, что цена акции в конце упадет ровно на величину дивиденда; если бы она понизилась больше или меньше, был бы возможен арбитраж.

Используя нейтральную к риску оценку, получим:

С = тах{0,Su-X-D} + -тах{0,Sd-X -D},

и это выражение вполне может быть меньше, чем S - X. Например, когда Su - D - X = 0,aS - Х>0.

3.13 Приложение: опционные стратегии

Опционы можно комбинировать между собой и с другими бумагами, что позволяет получить широкий набор платежей. Обычно эти платежи определяются стоимостью ценной бумаги, на которую выдан опцион. Некоторые опционные стратегии имеют собственные названия; мы рассмотрим их далее в этом разделе. Стратегии удобно конструировать с помощью программы ОРТиТ (параллельно с их изучением но этому тексту).

Далее описываются четыре наиболее часто встречающиеся группы опционных стратегий: открытые позиции, закрытые позиции, спрэды и комбинации. На всех диаграммах но оси X - цена акции, но оси Y - стоимость опциона или портфеля.

Открытые позиции

Нри открытой позиции в вашем портфеле есть только что-то одно: либо акция, либо опцион, либо обязательство