Поэтому определим
р = rl", так что /з" = ,
т. е. р есть единица плюс безрисковый процент за интервал времени длины Т/п.
Займемся теперь подбором и и d. Пусть Sx есть (случайная) цена акции в периоде Г. Ожидаемая величина темпа роста цены акции (если считать рост непрерывным с постоянным темпом) за интервал времени длиной 1 от < до < + 1 есть
E{\og{S,JS,)}.
Обычно делается предположение, что темпы роста независимы и одинаково распределены; обозначим среднее значение через /Z, а дисперсию - через а". Тогда за Т периодов средний рост цены составит р,Т, а дисперсия - сгГ.
Пусть за п шагов было j увеличений и (п - j) уменьшений цепы. Тогда St = Sud"" , так что
log(5r/5) = ilog(u) + (n - j)log{d).
Это выражение можно переписать как
log(5r/5) = jlog{u/d) + nlog(d),
так что
E{\og{SrlS)} = E{j)\og{u/d) + nlog(d).
Если q есть истинная вероятность повышения цены (которая не обязана совпадать с тг), то E{j) = nq. Дисперсия есть log{u/df[E{f} - (E{j}y] = n[g(l - q)log{u/dy], так как E{j} = nq + in - n)q\
Если требуется, чтобы в пределе для темпа роста цены получились среднее значение цТ и дисперсия <тГ, мы должны выбрать и, d н q так, чтобы
Иш [nq\og{uld) + nlog(d)] = цТ,
п-*оо
]1т n[q{l-q)log(u/dY] = (TT.
п-*оо
Эти условия удовлетворяются, если
и = ехр{(Ту/7>}, d = ехр{-(тУ1>},
д=1/2 + {1/2){р/а)у/т/.
При подстановке в первую формулу левая часть равна (гТ независимо от п, а правая часть второй формулы дает
п(1/2 + (1/2)(/х/ст)У7>)*
*(1/2- (l/2)(/x/<T)y/7>)log(exp{2a}) =
= n/4(l-(/x/(T)2T/n)4ff2T/n = аТ-цТУп -> (тТ при п -> оо. Ранее мы получили выражение для цены колл-онциона:
С = 8Ф{тп,щв) - Xr-Ф{m,n,г),
где в = тги/г и тг = (г - d)/{u - d).
Можно показать, что если в эту формулу подставить найденные значения и и d и перейти к пределу при п, стремящемся к бесконечности, то получится формула Блэка-Шоулза
С = SN{d - Xr-N{d2),
где = log[S/iXr-)]/aVT+{l/2)aVT, d = dy-as/f,aN{d) есть функция распределения для нормального распределения с параметрами (О, 1).
3.9 Лог-нормальная модель
Пусть St - случайная цена акции в периоде t, t = 1,... ,Г - заданный интервал периодов. Вместо того, чтобы переходить к пределу в биномиальном процессе, можно напрямую предположить, что темп роста цены акции ln(5t/5< i) распределен нормально со средним fi и дисперсией а. (Заметим, что при переходе к пределу в биномиальном процессе нам не понадобилось такое предположение.) Если темпы роста цены независимы во времени, то величина 1п(5т/5) также распределена нормально со средним значением рТ и дисперсией аТ. Соответственно, St распределена лог-нормально со средним значением Sexp{{n + о/2)Т}, а величина (1п(5т/5) - рТ)/(т\/Т распределена нормально со средним О и дисперсией 1.
При этих предположениях техника нейтральной риску оценки дает нам, что
С = Е{Ст)г~ 1 где Ст - случайная цена колл-опциопа на дату погашения.
Е{Ст) = E{St\St > X) - XP{St > А).
(P{St > X) обозначает вероятность того, что St > А.) Можно показать, что
£(5,15. > А-) = Se-*--"N{d,). <t, =
Используя некоторые свойства лог-нормального распределения и нейтральной к риску оценки, можно получить формулу Блэка-Шоулза для цены опциона (Black-Scholes option pricing formula):
С = SN{di)-Xr-N{d2). 99