(индексы и и d соответствуют двум состояниям, II я L, на конец первого периода). Отсюда цены опционов для каждого из состояний суть

Си = nSu + тВг, \

d = nSd + тВг. Теперь осталось найти п и m на первый период из системы

nSu + тВг = Си , nSd + тВг = Cd , что позволит определить текущую цену опциона:

C = nS + тВ.

Возможность продолжать торговлю, т. е. изменять портфель при переходе от периода к периоду, как бы "увеличивает" количество имеющихся в нашем распоряжении ценных бумаг.

Кроме оценки опциона мы можем применить данный подход к задаче хеджирования (ограничения) риска. Пример - динамическое хеджирование портфеля ценных бумаг. Пусть мы управляем портфелем ценных бумаг и хотим застраховаться от падения стоимости этого портфеля ниже определенной величины, например X, через три месяца. Простейший способ - это купить пут-опцион на этот портфель с ценой исполнения X и сроком погашения три месяца. Пусть, однако, торговля такими онционами не производится. Если цена портфеля изменяется согласно биномиальной модели (либо согласно обсуждаемой ниже лог-нормальной модели), то можно воспроизвести пут-опцион посредством достаточно частой (в пределе - непрерывной) торговли, создавая тем самым искусственный опцион на этот портфель. Разумеется, при слишком

активной торговле мы столкнемся со значительными трапзак-ционными издержками, так что в реальности точное воспроизведение требуемого пут-опциона невозможно.

3.8 Много периодов

Метод нейтральной к риску оценки распространяется на мно-гопериодные модели. Если и, d и г постоянны, формулы упрощаются. Для двух периодов, подставляя в формулу нейтральной к риску оценки С выражения для С„ и через Си, Сил, Cdu, с id посредством той же формулы, получим:

С = [ж1т]Сии + [(1 - )/г]С„,+

m->lr]Cd. + [{\-)lr]Cdd

или с = il/r")Y, (1 - тлх{0,5иЧ- - X}. j=o

(Здесь и далее (") = n\/j\{n -

Для п периодов формула имеет вид

С = "J2 (")"( ~ 7г)"--шах{0,5и"й"-- - А}.

Пусть т - наименьшее целое значение, при котором Su"d"-" > X, тогда

С = (1/г") Ё (" ):г(1 - - X] =

Второй член этого выражения представляет собой (нейтральную к риску) вероятность исполнения колл-опциона, помноженную на цену исполнения и деленную на коэффициент дисконтирования за п периодов. Таким образом, второй член - это дисконтированный ожидаемый расход. Первый же член есть дисконтированный ожидаемый доход. Сомножитель-сумма в выражении для дохода не является вероятностью иснолнения опциона, так как доход зависит от реализации различных значений цен акций (а расход - нет). Однако можно еще продвинуться но пути упрощения и прояс-пепия. Используя определение тг, преобразуем выражение для С:

С = 553 " (7ги/г)(1-7ги/г)"---Хг-" 53 Г тг(1-1г)"--\

j=m \J/ j=m \JJ

Пусть в = жи/r. Тогда

С = 8Ф{т,п;в) - Хг-"Ф{т,п;1г),

где Ф(т,п;в) есть вероятность того, что биномиальная случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью в и значение О с вероятностью (I - в), примет значение 1 как минимум т раз в п попытках.

Чтобы совершить, как было обещано ранее, предельный переход, предположим, что опцион погашается за время Т, а п есть число периодов, на которые мы делим интервал времени между настоящим моментом (примем настоящий момент за 0) и моментом Т. Соответственно мы должны подобрать значения г, и Ti d, чтобы учесть малую длину периода; например, значение и = 1.5, правдоподобное для периода в одну неделю, совершенно пе годится, если период длится пять секунд.

Проще всего скорректировать г. Требуется, чтобы представляло собой стоимость 1-долларового актива в момент Т.