5" = текущая цепа акции,

С = чека на колл-опциоп, подлежащая определению. Предположим, что в конце первого периода цена может принимать два значения:

Su - высокая цеиа акции в конце периода 1

(состояние II), Sd - низкая цена акции в конце периода 1 (состояние L). Предположим, что в конце второго периода для каждого из состояний {II и L) снова возможны два значения цепы:

Suu = высокая цепа акции в конце периода 2

при высокой цене акции в конце периода 1; Sud - низкая цена акции в конце периода 2

при высокой цене акции в конце периода J; Sdu = высокая цена акции в конце периода 2

при низкой цене акции в конце периода J; Sud = низкая цена акции в конце периода 2

при низкой цене акции в конце периода 1. Возможные траектории цен представлены на следующей диаграмме:

Цена акции Suu

Период 1 I Период 2 ~ Время

Обозначим X = цена исполнения,

г = 1 + безрисковый процент на активы

за один период

(одинаков для обоих периодов).

Терминальные значения для колл-опционов таковы:

Сии = тях{0, Suu - Х],

Cud = max{0, Sud - X},

Cdu = max{0,5du - A},

Cdd = ma.x{Q,Sdd-X),

где предполагается, что Suu > Л (в противном случае онцион никогда не исполняется и цена его равна нулю).

В начале периода 2 мы знаем, как найти цену опциона на этот период, так как эту задачу мы уже решали. Пусть Си - цепа колл-опциона, & ки - коэффициент полного хеджирования при условии, что в периоде 1 цена выросла (реализовалось состояние II):

Си - Su/ku - (Suu - киСии)1киГ, где ки = (Suu - Sud)l(Cuu - Cud)-Аналогично выражается Cd

По тогда через Си и Cd можно выразить значение С - цену колл-опциопа в начале периода 1:

С = S/k-(Su- кСи)/кг, где к= (Su- Sd)/(Cu-Cd).

Разница между этими формулами и аналогичными формулами для задачи на один период состоит в том, что Си и Cd

получены на основе информации о периоде 2 вместо прямого вычисления по формуле максимума.

Двухнериодную модель можно расширить на любое число периодов. При этом коэффициенты и и rf, а также ставка процента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом шаге цена акции может принимать лищь два значения, при большом числе периодов можно аппроксимировать достаточно плавно изменяющуюся цену. Например, если опционы исполняются в конце торгового дня, "периодом" можно считать один час (соответственно подобрав величины и, d и г). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции, в соответствии с многопериодной биномиальной моделью, может иметь 2 = 128 значений.

Далее мы совершим предельный переход, когда число периодов бесконечно увеличивается, а длительность одного периода становится бесконечно малой. А сейчас рассмотрим прием, называемый нейтральной к риску оценкой (risk-neutral probability) и упрощающий этот предельный переход, приводящий к формуле Блэка-Шоулза.

3.7 О нейтральной к риску оценке

Как мы уже видели, для вычисления цены европейского колл-опциона можно использовать портфель из акций и безрисковых активов, воспроизводящий ноток платежей от опциона. Из соотношений

Cu = dSu + rb, Ca = dSd+rb мы получили, что

„ Си - uCd - dCu

S{u-dy r{u-d)

и цена колл-опциона С = dS + b. Подставляя д и b, получим: