3.4 Биномиальная модель цены: европейский однопериодный колл-опцион

Биномиальная модель (binomial option pricing model) предполагает, что в любом периоде цена акции может сместиться либо вверх, либо вниз от текущей цены. Пусть « > 1 - сдвиг вверх, а d < 1 - сдвиг вниз. В рамках использовавшихся нами обозначений: высокая цена 5„ = Su, низкая цена Sd = Sd, где S есть текущая цена акции. Как и ранее, при определении цены опциона нам не потребуются вероятностные предположения об изменении цены акции.

Мы будем использовать следующие обозначения: S = текущая цена акции;

Su = будущая высокая цена акции (состояние II); Sd = будущая низкая цена акции (состояние L); г = 1 + безрисковый процент; X = цена исполнения; С - цена колл-опциона,

которую и надо определить.

Будем предполагать, что и > г > d, - это необходимо для предотвращения арбитража (если г > «, то надо продать акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент г; если > г, то надо занять деньги под безрисковый процент г и купить акцию). Определим

С„ = max{0,Su- X},

Cd = max{0,Sd-X}.

Если и Си , и Cd равны нулю, то колл-опцион заведомо не будет исполняться, так что предположим, что Си > 0.

А) Рассмотрим портфель из -f 1 акции и -к колл-опционов. Будущие платежи от этого портфеля составят:

Состояние L Состояние Н Sd-kCi Su-kCu

Выберем к так, чтобы

Sd-kCd = Su-kC,

т. с. получился безрисковый портфель. Для этого необходимо, чтобы

(Su - Sd)

Это отношение называется коэффициентом полного хеджирования (hedge ratio).

Стоимость приобретения такого портфеля в настоящий момент есть S - кС. Так как портфель дает гарантированный доход Su - кСи , должно быть выполнено соотношение

откуда

S {Би-кСи) - 1" кг Цена колл-опциона С есть функция текущей цены акции, будущих возможных цен акции, цены исполнения опциона (от которой зависят С„ и ) и безрискового процента.

В нашем примере было X = 30, Su = 40, Sd = 20, г = 1, так что

Си = 10, = О, А; = 2,

что даст 5" - 2С = 20 и С = (5" - 20)/2, как и ранее.

Б) Мы можем также определить цену опциона, используя акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей, порождаемых опционом. Пусть мы покупаем д акций и занимаем $6. Мы хотим выбрать 5 и 6 так, чтобы

Си = dSu + г6 и Ci = dSd-\-Tb.

Из этих двух уравнений следует, что д тлЬ должны быть:

Си - Cd uCd - dCu S{u-dy r{u-d) -

Если мы выбираем д к b в соответствии с этими уравнениями, то наш портфель из д акций и $6 безрисковых активов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион. Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене (эквивалентного) портфеля, иначе можно было бы получить чистую арбитражную прибыль. Это означает, что цена опциона есть

C = dS + b.

Подставляя данные из рассмотренного выше примера, мы снова получим С = {S - 20)/2.

Это уравнение имеет вид линейной зависимости между S и С, так что д можно рассматривать как производную от С по S, т. е. как меру чувствительности цены колл-опциона на акцию по отношению к цене этой акции. Эта величина обычно называется "дельтой" опциона. Ясно, что д = 1/к, где к - коэффициент полного хеджирования.

Аналогичная зависимость выводится и для европейского пут-опциона. Требуя, чтобы

Ри = dSu -f г6,

Pd = dSd-\-rb,

получим, что

я Pu-Pd , »Pd - dPu р

д = -.--рг, Ь = -.-J- и Р = OS + Ь.

S(u-dy r(u-d)