Следствием такого допущения является то, что инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией, но не другими характеристиками своего портфеля.
Инвесторы будут формировать портфель так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность при ограничениях по начальному капиталу и но предложению бумаг на рынке. В условиях конкурентного рынка установление равновесных цен на финансовые активы означает, что:
1. Инвесторы формируют портфели, максимизирующие ожидаемую полезность.
2. Предложение активов каждого вида равно спросу. Конкурентное равновесие в экономике с неопределенностью строится следующим образом.
Во-нервых, при данных ценах мы докажем справедливость теоремы об инвестировании в два фонда. Во-вторых, мы определим равновесную стоимость каждой фирмы в экономике. После этого легко подсчитываются равновесные цепы па каждую акцию.
Напомним, что если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией доходности портфеля, то они будут формировать свой портфель как комбинацию только рыночного портфеля Л/ и безрискового актива. Одним из следствий этого результата является факт, что доля стоимости фирмы г, принадлежащая инвестору к, равна доле фирмы j. Пусть Vi и Vj обозначают рыночные стоимости этих фирм, а Zf и Zj - доли стоимостей, принадлежащих инвестору к, так что количество денег, вложенных инвестором к в фирму г, равно zfVi. Тогда легко получить равенство = Zj. Напомним, что У* обозначает количество денег, вложенных инвестором к в рисковые активы, и т,- обозначает долю фирмы i в рыночном портфеле. Тогда стоимость фирмы i в портфеле инвестора к равна т,У*. Таким образом, мы имеем zf Vj- = т,У*, так что условие Zi = Zj будет выполнено, если m,y*/Vi = rrijYjVj,
или rrii/Vi = nij/Vj. По последнее равенство следует непосредственно из определения т,- и ruj. Поскольку т,- = где V - суммартгая рыночная стоимость всех (J)Hpir, мы получаем mi/Vi=l/V = mi/Vj.
Для аналитического удобства спрос каждого инвестора задается как желаемая (для владения) доля каждой фирхгы. Мы покажем, что из предположения о квадратичности (ункций полезности вытекает, что каждый инвестор желает владеть одной и той же долей во всех (1)ирмах. Этот факт существенно используется при выводе основного уравнения для рыночной стоимости фир1[ы. Оказывается, что стоимость каждой (1)ир-иы может рассматриваться как текущая стои!гость ее будущих доходов, "скорректированных с учетом риска".
Обозначения и допущения
F - Конечная оценка капитала
г - Единица плюс безрисковый
процент (кредиты даются под данный процент) Zj - Доля ()ИрМЫ j,
принадлежащая инвестору к Vj - Гьпючпая стоимость фирмы j
Xj{s) - Выплаты фирмы j в состоянии s
7r(s) - Вероятность состояния S
fij - Математическое ожидание
- величины Xj
(Tij - Ковариация величин х,- и Xj
- Пачальпый капитал инвестора к [/* = f - с*/ - Функция полезности инвестора к
Построение равновесия
Капитал инвестора к в состоянии s (в конце периода) оценивается фор\гулой
F\s) = rWY.[)-n- (2.1)
в этом выражении гТУ* определяет доход от начального капитала, -ZjtVj есть потери дохода из-за вложения капитала в фирму j, наконец ZjXj{s) есть выплаты фирмы j инвестору к.
Ожидаемая полезность конечного капитала, заданного формулой (2.1), в случае квадратичной функции равна
J2)[F(s)-cF\s)\ (2.2)
«
и, если нет ограничений на короткую позицию, необходимое и достаточное условие для максимизации ожидаемой полезности но неременным Zj записывается
E[{l~2cF{s)){xj(s)-rVj)] = 0, (2.3)
где Е обозначает математическое ожидание выражения в квадратных скобках.
Можно вывести следующие соотношения:
E[F\s)] = rW + J2jifJ-Vj), (2.4)
E[F\s)xj(s)] = rtfV; + E[xj{s)iY:zf{xi - rV;))], (2.5)
E[xiis)xj(s)] = aij + Hifij. (2.6)
Раскрывая (2.3) и используя (2.4)-(2.6), можно записать условия первого порядка по отношению к в следующем виде:
Y:z[aij + (,ii-rVi){pj-rVj)] = (pj-rVj)il/2c-rW). (2.7)
~ Отметим, что характеристики инвесторов входят в правую часть множителем. Поэтому можно решить соответствующую систему относительно вспомогательных переменных Zj,