назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


19

Следствием такого допущения является то, что инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией, но не другими характеристиками своего портфеля.

Инвесторы будут формировать портфель так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность при ограничениях по начальному капиталу и но предложению бумаг на рынке. В условиях конкурентного рынка установление равновесных цен на финансовые активы означает, что:

1. Инвесторы формируют портфели, максимизирующие ожидаемую полезность.

2. Предложение активов каждого вида равно спросу. Конкурентное равновесие в экономике с неопределенностью строится следующим образом.

Во-нервых, при данных ценах мы докажем справедливость теоремы об инвестировании в два фонда. Во-вторых, мы определим равновесную стоимость каждой фирмы в экономике. После этого легко подсчитываются равновесные цепы па каждую акцию.

Напомним, что если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией доходности портфеля, то они будут формировать свой портфель как комбинацию только рыночного портфеля Л/ и безрискового актива. Одним из следствий этого результата является факт, что доля стоимости фирмы г, принадлежащая инвестору к, равна доле фирмы j. Пусть Vi и Vj обозначают рыночные стоимости этих фирм, а Zf и Zj - доли стоимостей, принадлежащих инвестору к, так что количество денег, вложенных инвестором к в фирму г, равно zfVi. Тогда легко получить равенство = Zj. Напомним, что У* обозначает количество денег, вложенных инвестором к в рисковые активы, и т,- обозначает долю фирмы i в рыночном портфеле. Тогда стоимость фирмы i в портфеле инвестора к равна т,У*. Таким образом, мы имеем zf Vj- = т,У*, так что условие Zi = Zj будет выполнено, если m,y*/Vi = rrijYjVj,



или rrii/Vi = nij/Vj. По последнее равенство следует непосредственно из определения т,- и ruj. Поскольку т,- = где V - суммартгая рыночная стоимость всех (J)Hpir, мы получаем mi/Vi=l/V = mi/Vj.

Для аналитического удобства спрос каждого инвестора задается как желаемая (для владения) доля каждой фирхгы. Мы покажем, что из предположения о квадратичности (ункций полезности вытекает, что каждый инвестор желает владеть одной и той же долей во всех (1)ирмах. Этот факт существенно используется при выводе основного уравнения для рыночной стоимости фир1[ы. Оказывается, что стоимость каждой (1)ир-иы может рассматриваться как текущая стои!гость ее будущих доходов, "скорректированных с учетом риска".

Обозначения и допущения

F - Конечная оценка капитала

г - Единица плюс безрисковый

процент (кредиты даются под данный процент) Zj - Доля ()ИрМЫ j,

принадлежащая инвестору к Vj - Гьпючпая стоимость фирмы j

Xj{s) - Выплаты фирмы j в состоянии s

7r(s) - Вероятность состояния S

fij - Математическое ожидание

- величины Xj

(Tij - Ковариация величин х,- и Xj

- Пачальпый капитал инвестора к [/* = f - с*/ - Функция полезности инвестора к

Построение равновесия

Капитал инвестора к в состоянии s (в конце периода) оценивается фор\гулой

F\s) = rWY.[)-n- (2.1)



в этом выражении гТУ* определяет доход от начального капитала, -ZjtVj есть потери дохода из-за вложения капитала в фирму j, наконец ZjXj{s) есть выплаты фирмы j инвестору к.

Ожидаемая полезность конечного капитала, заданного формулой (2.1), в случае квадратичной функции равна

J2)[F(s)-cF\s)\ (2.2)

«

и, если нет ограничений на короткую позицию, необходимое и достаточное условие для максимизации ожидаемой полезности но неременным Zj записывается

E[{l~2cF{s)){xj(s)-rVj)] = 0, (2.3)

где Е обозначает математическое ожидание выражения в квадратных скобках.

Можно вывести следующие соотношения:

E[F\s)] = rW + J2jifJ-Vj), (2.4)

E[F\s)xj(s)] = rtfV; + E[xj{s)iY:zf{xi - rV;))], (2.5)

E[xiis)xj(s)] = aij + Hifij. (2.6)

Раскрывая (2.3) и используя (2.4)-(2.6), можно записать условия первого порядка по отношению к в следующем виде:

Y:z[aij + (,ii-rVi){pj-rVj)] = (pj-rVj)il/2c-rW). (2.7)

~ Отметим, что характеристики инвесторов входят в правую часть множителем. Поэтому можно решить соответствующую систему относительно вспомогательных переменных Zj,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]