Таким образом, мы можем представить решение инвестора к числом а*, определяющим долю в его портфеле безрисковых активов, тогда (1 - а*) определит долю рыночного портфеля. Итак, если а* = 1, инвестор вкладывает весь капитал в безрисковые активы; если а* < О, инвестор занимает (под безрисковый процент) и покупает рыночный портфель. Если IF* - суммарный капитал инвестора А;, то У* = (1 - a*)lF* - капитал, вложенный в рыночный портфель.
Пусть т,- - доля актива г в М. Для того чтобы получить ожидаемую доходность Е(гм) и стандартное отклонение сгд/, мы должны инвестировать долю т,- нашего капитала в каждый актив г. Предположим, что рынок находится в равновесии. Чему равны т,- для каждого г?
Поскольку спрос равен предложению, суммартщхй капитал, вложенный в М, должен равняться рыночной стоимости М. Другими словами, если мы спросим каждого инвестора, сколько денег он вложил в М, и просуммируем, мы получим суммарный капитал, инвестированный в М. С другой стороны, если мы посмотрим па рыночные цены акций, умножим их на количество акций и просуммируем по всем видам последних, мы получим рыночную стоимость М. Ясно, что эти величины должны быть равными. Более того, мы можем проделать то же самое для каждого типа акций: рыночная стоимость актива должна равняться капиталу, вложенному всеми инвесторами.
Пусть Vi = Pi X Qi, где Qi - количество акций типа г. Тогда Vi - рыночная стоимость фирмы i.
Вспомним, что - капитал, вложенный в М инвестором к. Тогда mi У* - капитал, вложенный инвестором к в акцию г. Суммируя, получим
Y;miY = Vi.
Решим относительно m,-:
По мы знаем, что
поскольку суммарный капитал, инвестированный в рынок, равен рыночной стоимости всех активов. Подставляя, получим:
mi =
что говорит о том, что доля акций типа i в М просто равна доле акций на i рынке. Поэтому-то М называется рыночным портфелем.
Замечание.
Безрисковые активы играли существенную роль в предыдущих рассуждениях. Однако мы фактически использовали лишь тот факт, что ковариация безрискового актива с рыночным портфелем равна нулю. Если бы нашелся такой портфель Z, что CTzM = О, то наши рассуждения были бы справедливы и при отсутствии безрисковых активов.
2.9 Резюме
Центральным выводом модели САРМ является то, что ожидаемая доходность акции должна удовлетворять уравнению
Е{п) - Г/ = Pi[E{rr) - Г/].
Это уравнение говорит, что избыточная доходность акции » пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля, где коэффициент пропорциональности является "риско-вашюстью" акции г. Как мы увидим позднее, этот факт может
применяться для определения процентной ставки, которую мы используем при дисконтировании рисковых финансовых потоков.
При выводе этого уравнения мы использовали тот факт, что инвесторы оценивают только ожидаемую доходность и ее дисперсию. Предположив, что рынок находится в равновесии, мы получили приведенное выше уравнение, которое характеризует равновесные доходности. Очень важно, однако, попять, что данное уравнение характеризует равновесные цены лишь частично. Фактически, не производя дальнейшего анализа, мы не обладаем даже достаточной информацией для определения равновесных цен: нам необходимо знать рыночную цену риска. Для этого нам потребуется детально рассмотреть проблему со стороны инвесторов, что мы до сих пор в основном игнорировали.
2.10 Равновесный анализ формирования цен в условиях неопределенности
Формулировка, которую мы примем, слегка отличается от той, что рассматривалась ранее. Мы предполагаем, что инвесторы избегают риска и интересуются размером капитала па конец периода. Капиталы в начале периода считаются заданными. Выплаты по ценным бумагам, в которые можно инвестировать капитал, являются стохастическими, и мы снова предполагаем, что конкретные выплаты в конце периода будут зависеть от реализованного состояния мира. Инвесторы могут формировать портфели рисковых активов, и следовательно, финальные выплаты будут зависеть от состояния мира. Мы предполагаем, что инвесторы оценивают портфель по величине ожидаемой полезности (см. приложение). Мы сделаем более специфическое допущение относительно предпочтений инвесторов, а именно, предположим их квадратичными.