назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


15

Условия первого порядка для данной задачи

dL/dai = 2ai<Tii + laja + 2аз<Т1з + XEi + Aj

дЬ/да2 = 2а2<Т22 + 2aiO-i2 + 2аз<Т2з + Х1Е2 + А2 dL/даз - 2аз<Тзз + 2ai<Ti3 + 2а2<Т2з + Ахз + А2 dLldXi = aiEi + 022 + "3Р3 - Р = О, дЬ/дХ2 = ai + а2 + аз - 1 = 0. В матричной форме

О, О,

(2ап

2<Ti2

2<Ti3

/0>

2(721

2(722

2о-2з

2<Тз2

2<7зз

V 1

Если обозначить матрицу "риск-доходность" через V, вектор (а,Л) через Л и вектор в правой части через W, то мы должны решить относительно А систему уравнений

VA = W.

Инвертируя матрицу "риск-доходность", получим реше-

ние:

A = V-HV.

Данное решение определяет оптимальный портфель из акций трех типов, реализующий требуемую доходность (при минимальной дисперсии). Варьируя желаемую доходность, можно построить всю эффективную границу. Заметим, что для определения эффективной границы как функции Ё достаточно двух последних столбцов матрицы V~, поскольку первые три компоненты вектора W равны нулю. Это иллюстрируется следующим примером.



Пример

Рассмотрим три рисковые ценные бумаги, характеризую-

щиеся следующими рисками и доходностью:

Ожидаемая Вариация Ковариация

Акция 1 Акция 2 Л кция 3

доходность .03 .07 .15

доходности .25 .45 .90

-.05 .45 .20

При данной информации матрица V равна

/ 0.5

-0.1

0.03

-0.1

0.07

0.15

0.03

0.07

0.15

V 1

а вектор W равен

/0 О О

Обратная матрица для V равна

(bj)

(1,2) (2,3) (1,3)

/ 0.430108 -0.64516 0.215054 -5.10753 0.787634 \

-0.64516 0.967742 -0.32258 -4.83871 0.693548

0.215054 -0.32258 0.107527 9.946237 -0.48118

-5.10753 -4.83871 9.946237 -79.9731 0.490591

V 0.787634 0.693548 -0.48118 0.490591 -0.14671



Умножая W на спереди, получим общее решение задачи минимизации дисперсии портфеля как функции Ё для акций 1, 2 и 3:

Акция 1 ai = -5.10753Р -f 0.787634. Акция 2 аз = -4.83871Р + 0.693548. Акция 3 аз = 9.946237Р-0.48118.

Например, если мы хотим получить ожидаем}ю доходность .1 (т. е. 10%), мы должны подставить .1 вместо Ё в приведенные выше формулы минимизирующих дисперсию весовых коэффициентов:

Акция 1 0.276882.

Акция 2 0.209677.

Акция 3 0.513441.

Сумма 1.000000.

2.6 Вид границы

Если мы найдем решение задачи минимизации риска в большом диапазоне ожидаемых доходностей, то увидим, что граница имеет форму "нули". Интуитивное понимание, почему граница имеет именно такую форму, можно получить, рассмотрев случай двух типов акций. Предположим, имеются два вида акций с ожидаемой доходностью E{ri) и Е{г2), стандартными отклонениями <Ti и ог и ковариацией o-jj. Если мы рассмотрим комбинацию из а акций первого типа и (1 - а) второго, ожидаемая доходность портфеля aE(ri) + (1 - а)Е{г2) будет находиться где-то между E{ri) и Е{г2). Стандартное отклонение портфеля равно

[aV?-f (1 - а)Ч+ 2а(1 - a)<7i/. 55

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]