назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


13

и полуфабрикатов и т.д. Различные состояния представляют различные реализации неопределенности.

Мы будем обозначать состояние буквой s. Во всех случаях будем рассматривать конечный набор состояний. Как правило, мы будем ссылаться на конкретное состояние, скажем, состояние к. Обозначим через К общее количество состояний; запись Sic будет обозначать к-е состояние, к = I,... ,К.

Каждому состоянию приписана вероятность, обозначающая шансы на появление данного состояния. Запись 7r(s) будет использоваться для обозначения вероятности состояния s.

2.3 Вероятность

Если даны набор возможных состояний и приписанные каждому состоянию вероятности, то можно определить случайную величину как нечто такое, что имеет различное значение в различных состояниях. Например, предположим, что фирма выпустила 100 акций и выплачивает по акциям весь свой доход. Предположим, что есть два состояния и что доход фирмы в состоянии 1 равен $1000 и в состоянии 2 равен $500. Тогда доход фирмы является случайной величиной. То же самое относится и к дивиденду на одну акцию, который равен 10 в состоянии 1 и 5 в состоянии 2.

В общем случае пусть x(s) обозначает значение случай-пой величины в состоянии s. В предыдущем примере величина x(s) могла бы обозначать доходы фирмы в состоянии s, величину дивиденда на акцию в состоянии s или цену фирмы в состоянии S.

Ожидаемое значение случайной величины х, обозначаемое через Е(х), задается формулой

Е(х) = 2НФ{)-



Дисперсия/вариация (variance) х, обозначаемая о(х), определяется

a\x) = YL<)\.<)-E{)f-

Если заданы две случа11ныс величины, например х w. у, то ковариация (covariance) х я у задается

<(,У) = Е()[() - E(x)Ms) - Е(у)].

Очевидно, что а(х,х) = сг(х) и а(х,у) = а{у,х). Корень квадратный из дисперсии, сг(а;), называется стандартным квадратичным отклонением (standard deviation).

Заметим, что если х - случайная величина, то ах для любого а также случайная величина. Мы можем вычислить среднее и вариацию ах:

J?(Qx) = 537r(5)[Qx(5)] = Qii;(x),

(7{ах) = Y,T{s)[ax{s) - E{ax)f = аах).

Аналогично, для любого /? и любой другой случайной величины у величина (]у также случайна и имеет характеристики: Е{(]у) =: (]Е(у); а\ау) = Ра\у).

Наконец, если мы объединим ах и /Зу и рассмотрим новую случайную величину ах + /Зу, мы можем вычислить математическое ожидание и вариацию этой новой величины:

Е{ах + (Зу) = Y,T:{s)[ax{s) + py{s)] = аЕ{х) -f рЕ{у),

а\ах + ру) = 5;7г(5)[ах(5) -f py(s) - Е{ах -f !5y)f =

= QV(x)-f/3V(y) + 2Q/3a(x,j,). 48



Последние две формулы весьма полезны при расчетах ожидаемой доходности и дисперсии портфеля ценных бумаг.

Пример

Имеются три состояния: s,s,s. Каждое состояние может реализоваться с равными шансами. Есть два вида акций: А и В. Цены акций в каждом из состояний задаются следующей таблицей:

Состояние

В соответствии с приведенными выше определениями

Е(А) = 10/3 + 20/3 + 30/3 = 20, Е{В) = 25/3 + 15/3 + 5/3 = 15,

ст(Л) = (10 - 20)V3 + (20 - 20)V3 -f (30 - 20f/3 = = 200/3 = 66.67,

а\В) = (25 - 15)/3 + (15 - 15)/3 -f (5 - 15)/3 = = 200/3 = 66.67,

а(Л, В) = (10 - 20)(25 - 15)/3 -f (20 - 20)(15 - 15)/3-f -f (30 - 20)(5 - 15)/3 = -66.67.

Портфель, состоящий из +1 акции А и -f 1 акции В, имеет ожидаемую доход1юсть 35 и нулевую дисперсию.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [ 13 ] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]