Преобразуя эти уравнения, получим описание спроса в виде системы линейных по z уравнений:
(l + /3)Pl2r.l + PP2Zi2+ PPzZiZ = /JlFo,
l3-PiZn+ (l + /3)P2..-2 + PPzZiZ = ЯКо,
PPlZn+ (iP2Zi2+ {l+l3)PzZiZ = ЯКо.
Эта система проще выражается в матричном виде:
Azi = С
и решается обращением А:
Z* = А-С.
В конкурентном рыночном равновесии цепа каждого вида облигаций такова, чтобы спрос уравновешивал предложение, тогда:
Yii z*j = суммарный выпуск облигаций вида j,
которое эквивалентно условию, что вектор цен должен удовлетворять равенству:
52,(Л~С)у - суммарный выпуск облигаций вида j.
Для демонстрации нахождения конкурентного равновесия сделаем следующие дополнительные предположения.
Пример
Равновесный анализ временной структуры процентных ставок
В экономике, определе1Шой выше, сделаем дополнительные предположения: и{Сг) = log(C,).
Общее число идентичных инвесторов равно 1 ООО ООО. /3 = 0.909091, Wo = $1000.
Общее предложение бескупонных облигаций каждого типа равно 2287 916.
Мы определим и найдем конкурентное равновесие, получив некоторые выводы относительно временной структуры процентных ставок.
Конкурентное равновесие
Конкурентные цены (Р1,Р2,з) бескупонных облигаций со сроком погашения 1, 2 и 3 соответственно удовлетворяют следующим условиям:
1. При данных ценах спрос z*j максимизирует функцию полезности инвестора при бюджетных ограничениях.
2. При этих ценах спрос и предложение па рынке каждого вида облигаций равны.
Нахождение равновесия Спрос на каждую бескупонную облигацию определяется условиями первого порядка из задачи типичного инвестора. Учитывая предположения о с)ункции V и подставляя ограничения в целевую функцию из условий первого порядка, получаем оптимальный спрос в матричной форме (как выше):
= л-с,
и условие баланса каждого рынка требует:
Zj- = суммарный выпуск облигаций вида j.
Данным параметрам соответствует следующее решение.
Текущая/форвардная ставкав периоде 1 = 0.1, 0.1, 0.1 (т. е. кривая доходности горизонтальна).
Текущие цены (ставки) для рынка бескупонных облигаций (F = $100):
Погашение в год 1 90.909, (0.10). Погашение в год 2 82.645, (0.10). Погашение в год 3 75.131, (0.10).
Для каждого инвестора zjj = 2.8679 для каждого типа облигаций.
Потребление в каждом периоде = 286.7916 единиц потребления.
Заметим, что симметрия данного примера обусловливает горизонтальность кривой доходности, а уровень потребления равномерен во времени в соответствии со свойствами функции полезности.
Реакция временной структуры на скачок предложения
Предположим, что правительство дополнительно выпустило 7000 двухгодичных бескупонных облигаций, а начальный уровень благосостояния инвесторов не изменился. Даже в нашей простой экономике произойдет довольно сложное изменение процентных ставок. Старые цены не обеспечат баланса спроса и предложения. При логарифмической функции полезности на одногодичные и трехгодичные облигации будут направлены те же доли начального капитала. Однако цена двухгодичной бескупопной облигации упадет до $80.675 ввиду возросшего предложения, а значит, форвардная ставка в первый год возрастет до (0.1268) в ответ на скачок предложения. Более того, сохранение цены на трехгодичные облигации потребует изменения форвардной ставки на третий год. Она упадет до (0.07378) так, чтобы геометрическое среднее (1.10 • 1.12685 • 1.07378)(/) осталось равным 1.10. Это изменение форвардной ставки ца год 3 возникает в ответ на эффект возросшего благосостояния, имеющий место в начале года 3 после погашения двухгодичных облигаций с повышенным предложением. В результате новая кривая доходности имеет пик в средней позиции: 0.10, 0.113, 0.10 и соответствующие однопериодные текущие/форвардные ставки равны: 0.10, 0.1268, 0.07379.