Если г - процситная ставка па один период, то мы знаем, что Р = F/(l + г), так что F/P = (1 + г). Поэтому
Таким образом, если /3 = 1/(1 + г), то потребитель уравнивает маргинальные полезности потребления в обоих периодах; поскольку функция строго вогнута, это также означает равные потребления.
Эту формулу можно воспринимать следующим образом. (3 характеризует процентную ставку, по которой потребитель оценивает потребление в будущем по отпощению к настоящему. (1 + г) характеризует ставку, по которой настоящее потребление превращается в будущее. Поэтому если /3 > 1/(1 + г), то потребитель предпочитает больщее потребление в будущем, чем в настоящем, и наоборот, если /3 < 1/(1 + г).
Продолжим определение г (или, что то же самое, Р). Для этого рассмотрим конкретную функцию полезности:
и{С) = Iog(C),гдe log обозначает натуральный логарифм.
В этом случае U(C) = 1 /С, поэтому условие первого порядка переписывается в виде:
VFo -Pz Р откуда
Мы предположили, что существует п облигаций, в то время как Z - спрос на эти облигации. Таким образом, если спрос равен предложению, мы получим
+ 13 P
и цена (P) облигации определяется уравнением
Отсюда видно, что рост предложения (п) приведет к падению цепы облигации и увеличению процентной ставки, в то время как увеличение Wq приведет к росту цепы облигации. А что же /3? Увеличение /3 увеличивает как числитель, так и знаменатель дроби в равенстве. Однако дробь растет с ростом /3, поэтому увеличение /3 приведет к росту цены или падению процентной ставки.
В общем случае мы можем рассмотреть другие функции полезности и случай многих потребителей с различными предпочтениями. Вместо двух периодов можно рассмотреть больше. Этот случай мы разберем позже, что позволит нам рассмотреть множество раз1юобразных форм, которые может принимать временная структура.
Рассмотрим экономику с идентичными потребителями с логарифмическими предпочтениями потребления (С) па четырехточечной оси времени. Предположим, что предпочтения потребителей описываются
V = и(Со) + rnCi) + Ри(С2) + PUiC:,),
где функция полезности U(C) = log(C) - монотонно возрастающая и строго вогнутая по потреблению С (т. е. первая производная от U по С, 1/С, положительна, а вторая производная, - отрицательна). Коэффициент /3 представляет коэффициент предпочтения будущего потребления перед па-стоящим для каждого потребителя; будем предполагать, что 0</3< 1.
Предположим, что существует три вида бескупоиных облигаций со сроками погащения в периодах 1, 2 и 3 соответственно. Типичный потребитель i сталкивается со следующими бюджетными ограничениями:
1. Со = Wo - ZaPi - Zi2P2 - 2Г.-зРз,
2. Ci = znF,
3. Сг = Zi,F,
4. Сз = ZiF,
где Zij - число бескупонных облигаций с погашением в периоде j, приобретенных или проданных (в зависимости от знака) потребителем г. Задача каждого потребителя состоит в максимизации функции полезности при ограничениях (1.-4.); причем подставляя ограничения непосредственно в целевую функцию, получим задачу безусловной максимизации. При наших предположениях о функции V условия первого порядка по z.y являются необходимыми и достаточными условиями максимума. Условия первого порядка:
Р( I )+ = 0
dzn Wo- znPi - Zi,P2 - .-зРз ZnF
dzi2 Wo - znPi - Zi,P, - .-зРз Zi,F
= P( I ) + = 0
dzi3 Wo - znPi - Zi,P, - ZiP > ZiF