назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]


10

Если г - процситная ставка па один период, то мы знаем, что Р = F/(l + г), так что F/P = (1 + г). Поэтому

Таким образом, если /3 = 1/(1 + г), то потребитель уравнивает маргинальные полезности потребления в обоих периодах; поскольку функция строго вогнута, это также означает равные потребления.

Эту формулу можно воспринимать следующим образом. (3 характеризует процентную ставку, по которой потребитель оценивает потребление в будущем по отпощению к настоящему. (1 + г) характеризует ставку, по которой настоящее потребление превращается в будущее. Поэтому если /3 > 1/(1 + г), то потребитель предпочитает больщее потребление в будущем, чем в настоящем, и наоборот, если /3 < 1/(1 + г).

Продолжим определение г (или, что то же самое, Р). Для этого рассмотрим конкретную функцию полезности:

и{С) = Iog(C),гдe log обозначает натуральный логарифм.

В этом случае U(C) = 1 /С, поэтому условие первого порядка переписывается в виде:

VFo -Pz Р откуда

Мы предположили, что существует п облигаций, в то время как Z - спрос на эти облигации. Таким образом, если спрос равен предложению, мы получим



+ 13 P

и цена (P) облигации определяется уравнением

Отсюда видно, что рост предложения (п) приведет к падению цепы облигации и увеличению процентной ставки, в то время как увеличение Wq приведет к росту цепы облигации. А что же /3? Увеличение /3 увеличивает как числитель, так и знаменатель дроби в равенстве. Однако дробь растет с ростом /3, поэтому увеличение /3 приведет к росту цены или падению процентной ставки.

В общем случае мы можем рассмотреть другие функции полезности и случай многих потребителей с различными предпочтениями. Вместо двух периодов можно рассмотреть больше. Этот случай мы разберем позже, что позволит нам рассмотреть множество раз1юобразных форм, которые может принимать временная структура.

Рассмотрим экономику с идентичными потребителями с логарифмическими предпочтениями потребления (С) па четырехточечной оси времени. Предположим, что предпочтения потребителей описываются

V = и(Со) + rnCi) + Ри(С2) + PUiC:,),

где функция полезности U(C) = log(C) - монотонно возрастающая и строго вогнутая по потреблению С (т. е. первая производная от U по С, 1/С, положительна, а вторая производная, - отрицательна). Коэффициент /3 представляет коэффициент предпочтения будущего потребления перед па-стоящим для каждого потребителя; будем предполагать, что 0</3< 1.



Предположим, что существует три вида бескупоиных облигаций со сроками погащения в периодах 1, 2 и 3 соответственно. Типичный потребитель i сталкивается со следующими бюджетными ограничениями:

1. Со = Wo - ZaPi - Zi2P2 - 2Г.-зРз,

2. Ci = znF,

3. Сг = Zi,F,

4. Сз = ZiF,

где Zij - число бескупонных облигаций с погашением в периоде j, приобретенных или проданных (в зависимости от знака) потребителем г. Задача каждого потребителя состоит в максимизации функции полезности при ограничениях (1.-4.); причем подставляя ограничения непосредственно в целевую функцию, получим задачу безусловной максимизации. При наших предположениях о функции V условия первого порядка по z.y являются необходимыми и достаточными условиями максимума. Условия первого порядка:

Р( I )+ = 0

dzn Wo- znPi - Zi,P2 - .-зРз ZnF

dzi2 Wo - znPi - Zi,P, - .-зРз Zi,F

= P( I ) + = 0

dzi3 Wo - znPi - Zi,P, - ZiP > ZiF

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]