назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


8

МЫ улучшаем наш конечный результат. Поэтому имеет смысл по возможности ограничивать убытки - это приносит пользу. Вместе с тем уравнение показывает, что в некоторой точке ограничение потерь станет уже неблагоприятным. В этой точке вы будете с небольшими потерями выходить из слишком большого количества сделок, которые позже окажутся прибыльными, тем самым снижая А больше, чем S.

Аналогичным образом, уменьшение числа крупных выигрышных сделок будет способствовать итоговому успеху, если это сокращает А больше, чем S. Во многих случаях этого можно добиться, включив в свою торговую программу опционы. Небесполезной может оказаться опционная позиция, направленная против вашей позиции по основному активу (покупка или продажа соответствующего опциона).

Как видите, фундаментальным уравнением торговли можно воспользоваться для решительного и многогранного изменения нашей торговли. Этого можно добиться путем приближения или удаления стоп-приказов, задания ценовых ориентиров и т.д. Необходимость изменений диктуется неэффективностью нашего способа ведения торговли, а также неэффективностью наших торговых профамм или методологии.

Существует ли оптимальное f ?

Оптимальность /в смысле максимизации капитала видна из того, что:

since (7= (П HPr)

[1.14]

(ПНРК,)"= ехр (,b(HPR)j [1.15]

Отсюда, согласно закону больших чисел в слабой форме или Центральной предельной теоремы теории вероятностей применительно к сумме независимых переменных (т. е. к числителю правой части выражения [1.15]), если максимизировать среднее геометрическое по всем периодам владения на достаточно большой выборке данных, то почти наверняка получим больший конечный капитал, чем с помощью любого другого решающего правила.

Кроме того, для доказательства оптимальности /мы можем также воспользоваться теоремой Ролля. Вспомните, что под оптимальностью мы понимаем то, что дает наибольший геометрический рост с увеличением количества испытаний. Поскольку показателем среднего геометрического роста является TWR, нам нужно доказать, что существует такое значение f, при котором достигается максимум TWR.

Теорема Ролля утверждает, что если некая функция пересекает линию, параллельную оси х в двух точках а и Ь, и функция непрерывна на интервале [а, Ь], то на этом интервале существует по крайней мере одна точка, в которой первая производная этой функции обращается в нуль (т. е. имеется по крайней мере один относительный экстремум).

Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды* (в качестве оси X выступает ось j), при / = О и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех / внуфи данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от /непрерывна внуфи интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по

* В действительности при /=0 и TWR = 0. Поэтому мы не можем сказать, что TWR пересекает О снизу вверх. Вместо этого мы можем утверждать, что при значении /, которое бесконечно близко к нулю, TWR пересекает линию, расположенную над осью х и бесконечно близкую к ней. Аналогичным образом характеризуется и правая точка пересечения.



крайней мере один относительный экстремум. Поскольку на этом интервале оценочное TWR положительно, то есть расположено над осью X, на нем должен содержаться, по меньшей мере, один максимум.

Фактически, на этом интервале может быть лишь один максимум, так как изменение среднего геометрического HPR (среднее геометрическое HPR является корнем степени Т из TWR), согласно теореме Пифагора, впрямую зависит от AHPR и дисперсии, когда оба они при изменении /изменяются в противоположных направлениях. Этим гарантируется единственность вершины. Таким образом, на данном интервале должен быть максимум, и он может быть только один.

Теперь вернемся к уравнению [1.06] и вновь рассмотрим игру в монетку с выплатой «два-к-одному». У нас имеется две сделки, или два возможных сценария. Взяв первую производную от [1.06] по /, получим:

flTTWR df

- trade

biggest loss

)). (

- trade.

biggest loss

- trade

biggest loss

) * (l +/* (

- trade biggest loss

[1.16]

При количестве сделок большем двух можно использовать эту же формулу, но она сразу же сильно разрастается. Поэтому для простоты мы остановимся лишь на двух сделках. В этих условиях для серии исходов -t-2, -1 при /= 0,25 будем иметь:

dTWR df

cTTWR df

dTWR df

((1 + 0,25 0,25 *r l

((1 + 0,25 * 2) * -1) -f (2 * (1 -f 0,25 * -1))

((1 +0,5)*-l)-f(2 * (1-0,25))

= (l,5*-l) + (2.0,75))

dTWR df

= -1,5 +1,5 = 0

Как видим, функция достигает вершины при /= 0,25, где наклон касательной равен нулю, то есть точно при оптимальном / и никакого другого локального экстремума сушествовать не может из-за ограничений, накладываемых теоремой Пифагора.

Наконец, покажем, что оптимальное / не зависит от Т. Взяв первую производную от оценочного TWR в форме [1.13] по переменной Т, получим:

i)T/2 * In {А - S")

[1-17]

Поскольку In (1) = 0, то при том значении /, когда А-iS= 1, функция достигает вершины - максимума TWR, завися-шего лишь от/ Отметим также, что и А (среднее арифметическое HPR) и S (стандартное отклонение этих HPR) не являтся функциями от Г - они не зависят от него. Поэтому [1.13] не зависит от Т при оптимальном f То f которое оптимально в смысле максимизации оценочного TWR, всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от Т.

Ответ критикам

Вскоре после того, как в 1990 г. были опубликованы эти формулы, некоторые загорелись идеей поиска оптимального / с помошью моделирования по методу Монте Карло. Одно из наиболее серьезных замечаний относительно этих формул состояло в том, что они игнорируют необходимость торговли целочислен-



ными количествами контрактов, например, что нельзя торговать 0,37 контракта на золото. Тогда как метод Монте Карло позволяет определить оптимальное /с учетом реальных ограничений, допускающих торговлю только целыми количествами контрактов.

Способ моделирования по Монте Карло в данном случае мог бы вьщдадеть следующим образом. Предположим, у вас имеется начальный капитал величиной, скажем, в 50000 долл. Возьмите все сделки и бросьте их в мешок, а затем вытаскивайте их обратно по одной. Каждый раз, вытащив одну сделку, рассчитайте новую величину вашей ставки на основе значения / которое вы сейчас тестируете. Повторяя это вновь и вновь, вы сможете взять за оптимальное /то, которое фактически дало вам наибольший выигрыш.

Все это прекрасно. Однако метод, впервые предложенный в 1990 г., даст вам оптимальное /для всех возможных значений начального капитала. То есть он дает оптимальное / учитывая все возможные начальные условия. Во-вторых, с ростом начального капитала оба метода: и формулы 1990 г., и метод Монте Карло - дают все более близкие значения оптимального / В-третьих, чем меньше целочисленный размер ставки, тем ближе сходятся оба подхода. То есть чем меньшей единицей вы пользуетесь в торговле (т. е. чем точнее приближаетесь к дробным ставкам), тем ближе сходятся оба подхода и лучше становятся результаты обоих. Следовательно, чем чаще вы уточняете целочисленное число торгуемых контрактов при изменении вашего торгового счета, тем больше получите от максимизации ожидаемого значения логарифма капитала. Благодаря этом}/ торговля овсом может оказаться прибыльней торговли индексом S&P.

Наконец, вам вовсе не нужно использовать при расчете значений HPR долларовые величины. Выразив исходы за периоды владения в процентах, при расчете значений HPR возьмите наибольший процент проигрыша и найдите значение оптимального /по процентным исходам. Далее, переходя к формуле [1.08], возьмите наибольший процент проигрыша, умножьте на текущую цену актива и примите результат за наибольший проигрыш на сделку, как это показано ниже.

/$ =

abs(biggest losing percentage * current price) optimal /

[1.18]

Введение в портфели с оптимальным f

Помимо прочего в книге 1990 г. бьш дан способ определения оптимальных величин /для компонентов портфеля.

Начнем с того, что, когда мы работаем с компонентами портфеля, нужно использовать одинаковые периоды владения. То есть период владения нельзя более отождествлять с продолжительностью сделки. Теперь это должен быть какой-то единый период времени - день, неделя, месяц, квартал или год. Я предпочитаю использовать день, но от вас этого не требуется. Нужно лишь, чтобы вы использовали стандартный период времени при определении всех HPR, и его продолжительность должна быть неизменной от одного рынка к другому, от одного метода торговли к другому. Поэтому, если длительность вашего периода владения равна, скажем, одному дню, значит, вы определяете значения HPR, исходя из изменений счета от торговли единицей актива за день.

Для применения формул 1990 г. к портфелю нужно изменить только выражение [1.05], чтобы учитывать более одного компонента:

/л / -trade., \\ HPR,= l+(z/,*( biggest Ioss ))

[1.19],

где:

HPR = HPR за к-й. период владения;

сделка; = изменение капитала от торговли одной единицей /-Г0 компонента за А:-й период;

максимальный проигрыш = самое большое отрицательное изменение капитала по этой компоненте на единицу актива за все периоды владения;

п = количество компонент в портфеле;

/ = / ассоциированное с г-й компонентой.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]