назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


23

0,5761

0,2016461

0,16461

0,05761

Поскольку в исходной таблице мы использовали не вероятности, а фактические замеры по двадцати семи реализациям, мы можем умножить полученные вероятности на двадцать семь и получить таблицу ожидаемых частот:

15,56

5,44

4,44

1,56

Мы видим, что можно ожидать 15,56 реализаций (из двадцати семи) по сценарию А из спектра X и по сценарию А из спектра У. Вспомните, что это соответствует реализации О или 1 исходного спектра X и 1 или 2 исходного спектра Y. Переходя к исходному спектру, обнаруживаем, что на самом деле таких реализаций было четырнадцать (из двадцати семи):

Безусл. плотность Y

Y 2

Безусл. плотность X

Сходные ошибки можно найти и в других трех квадрантах. Такой неточностью мы обязаны тому, что дихотомизировали исходное распределение слишком далеко от действительно равновероятного уровня (мы дихотомизировали на уровнях 0,74074 и 0,777). Поэтому наши аппроксимации совместных распределений оказались менее точными.

Давайте вернемся назад и дихотомизируем эту таблицу на уровнях 0,5. Для этого попытаемся ответить на вопрос: «Где на оси X находится уровень 0,5?»

Сначала просуммируем произведения каждого исхода X на его частоту:

8*2 = 0; 12* 1 = 12; 6*2 = 12; 1*3 = 3. Итого = 27.

Теперь разделим полученную сумму на общее количество реализаций (27) и найдем взвешенное по вероятности среднее:

27/27 = 1

Это значит, что если бы это было непрерывное распределение, то мы могли бы ожидать 50% реализаций меньше 1 и 50% - больше.

1*3 = 3; 2* 18 = 36; 3*6= 18; Итого = 57.

Теперь разделим полученную сумму на общее количество реализаций (27) и найдем взвешенное по вероятности среднее:

57/27 = 2,111

р{В\А) = 0,2592 * 0,777 * (1 - 0) + 0,0362 * О = 0,2016461;

р(5 В) = 0,2592 * 0,222 * (1 - 0) + 0,222 * О = 0,05761316873.

(Обратите внимание на величины интерантисечений в предьщущих уравнениях.)

Теперь мы можем завершить таблицу:



То есть если бы это было непрерывное распределение, то мы могли бы ожидать 50% его реализаций меньше 2,111 и 50% - больше.

Теперь рассчитаем вероятности для четырех квадрантов:

р(< 0,5 I < 0,5) = 0,5 * 0,5 * (1 - IО I) + 0,5 * IОI = 0,25 * 1 + 0,5 . О = 0,25.

«Подождите, - скажете вы, - поскольку имеет место стохастическая независимость, нет нужды все это проделывать; мы можем просто перемножить вероятности для каждого из четырех квадрантов и определить вероятности, ассоциированные с каждым квадрантом. Это даст совместную вероятность 0,25 для каждого квадранта» Все это совершенно верно. Квадранты разделены точно значением 1 по X и значением 2,111 по Y. То есть в каждом квадранте мы можем ожидать 25% всех реализаций, или 6,75 реализаций из 27 (27 * 0,25).

Глядя на таблицу, может оказаться сложновато вьщелить в каждом квадранте 6,75 исходов: ведь в ней представлены дискретные исходы, а мы для удобства дихотомизации таблицы на равновероятных уровнях обращались с ними, как с непрерывными. Например, если взять строку реализаций у для исхода «2», то сколько их будет ниже, а сколько выше уровня 2,111?

Разумеется, в случае более удобных распределений механизм образования совместных вероятностей из составляющих безусловных вероятностей более нагляден.

А сейчас рассмотрим другую ситуацию с двумя потоками исходов двенадцати конов:

ПотокХ 2 1-1-22 Потоку 2 2 2 11 ВРЕМЯ

1-1 2 1-1-2 1 -1 -1 -2 -2 -2

Мы можем определить, что коэффициент корреляции этих двух потоков равен 0,33333. Если мы теперь примемся составлять

таблицу совместных вероятностей, то определим также и безусловные плотности (каждый из четырех сценариев каждого сценарного спектра имеет вероятность реализации 0,25).

Безусл. плотность у

3 (Р = 0,25)

у -1

3 (р = 0,25)

3 (Р = 0,25)

3 (р = 0,25)

Безусл. плотность X

вероятность

0,25

0,25

0,25

0,25

р = 1,0

Если мы теперь проведем дихотомизацию точно на уровне 0,5 для обоих сценарных спектров, то в каждом спектре получим по два сценария, которые будем называть «-Ь» и «». Вероятность реализации каждого сценария в спектре равна 0,5. Сценарий «+» включает те исходы, которые больше О, а сценарий «-» содержит исходы, меньшие 0. Таблица будет выглядеть следующим образом:

Вернемся теперь к нашему уравнению для определения совместных вероятностей и посмотрим, насколько близки эти данные к расчетным:

р(--) = 0,5 * 0,5 * (1 -1 0,3333 I) + 0,5 . ! 0,3333

= 0,25 * 0,6666 + 0,5 * 0,3333

= 1,66666 + 0,166666

= 0,33333



0,333333

0,1666666

0,1666666

0,3333333

Если умножить их на количество исходов (12), то получим следующую таблицу частот ожидаемых исходов:

Это точно совпадает с эмпирическими данными потока исходов. Заметьте, что такая точность объясняется тем, что мы провели дихотомизацию на уровне 0,5.

Судя по таблице, мы, например, можем ожидать отрицательного числа в потоке X и отрицательного числа в потоке У в четырех из двенадцати случаев и так далее (для трех других квадрантов.

«Подождите, - скажете вы, - разве нельзя взять один из этих квадрантов и дихотомизировать его для получения более детальных вероятностей, не офаничиваясь достигнутым?» Другими словами, в этом примере вы хотите знать не только, какова вероятность, скажем, положительного числа в обоих потоках, но и какова вероятность -2 в потоке X и -1 в потоке У. То, чему мы пока что научились, даст вам точное совместное распределение, если у вас есть два бинарных безусловных распределения - то есть, когда у вас есть два безусловных распределения, каждое из которых имеет только два возможных исхода, два возможных сценария (как в большинстве азартных иф, где вы выигрываете М с вероятностью Xw. проифьшаете Лс вероятностью Y). Однако хотелось бы получать совместные распределения для любых безусловных распределений, а не только для бинарных.

Тут-то мы и подходим к сути дела.

Теория условной вероятности

Мы можем дихотомизировать таблицу совместных вероятностей любых двух сценарных спекфов при условии, что известны сами эти сценарные спектры (т. е. вероятности, ассоциированные с каждым сценарием) и коэффициент корреляции между ними. То есть мы можем определить величины в каждом из четырех квадрантов таблицы совместных вероятностей.

Мы можем продолжить дихотомизацию таблицы для получения более детальных вероятностей, не ограничиваясь уровнем

р(-+) = 0,5 * 0,5 * (1 -10,33331) + О . 10,33331 = 0,25 * 0,6666 + О = 1,66666 + 0 = 1,66666

р(++) = 0,5 * 0,5 * (1 -1 0,3333 I) + 0,5 .1 0,3333 = 0,25 . 0,6666 + 0,5 * 0,3333 = 1,66666 + 0,166666 = 0,33333

р(+-) = 0,5 * 0,5 * (1 - 10,3333 I) + О . I 0,3333 = 0,25 * 0,6666 + О = 1,66666 + 0 = 1,66666

Таким образом, наша формула дает следующие оценки совместных вероятностей:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]