назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


15

Приводило бы к максимальному геометрическому росту при стремлении количества сделок (или периодов владения) к бесконечности. Это значит, что в весьма отдаленной перспективе с вероятностью, приближающейся к достоверной, мы выиграли бы больше, чем с помощью любой другой стратегии управления капиталом.

Напомню, что если у нас есть только одна игра, то мы максимизируем рост, прибегая к максимизации среднего арифметического дохода за период владения (т. е. /= 1). Если у нас бесконечное количество игр, то мы максимизируем рост путем максимизации среднего геометрического итога периодов владения (т. е. используем оптимадьное J). Однако действительно оптимальное f является функцией планируемой нами продолжительности торговли - количества следующих друг за другом итогов конечных периодов владения (HPR).

Для одного HPR игры с положительным математическим ожиданием оптимадьное /всегда будет равно 1,0. Если мы сыграем при любом / отличном от 1,0, и остановимся после одного периода владения, то мы не максимизируем наш ожидаемый средний геометрический рост. То, что считается оптимадьным / будет таковым, если бы мы сыграли бесконечное количество периодов владения. Для игры с положительным математическим ожиданием действительно оптимадьное /начинается с единицы и стремится к оптимадьному значению, при стремлении количества периодов владения к бесконечности.

Чтобы убедиться в этом, вновь рассмотрим нашу игру в монетку «два-к-одному», для которой определенное нами оптимальное / равно 0,25. Если в этой игре результат очередного выбрасывания не зависит от предьщущих, то, ставя на каждый кон без пропусков 25% счета, мы наверняка максимизируем наш геометрический рост при стремлении продолжительности игры, или количества подбрасываний (т. е. количества периодов владения), к бесконечности. Это значит, что наш ожидаемый средний геометрический рост, то есть то, чем мы могли бы рассчитывать закончить, - ожидаемая величина по всем возможным комбинациям исходов - будет самым большим, если ставить на кон по 25% счета.

Рассмотрим первое подбрасывание. С вероятностью 50% мы выигрываем два долл. и с вероятностью 50% проигрываем один

доллар. Перед вторым выбрасыванием мы имеем следующие шансы: 25% на выигрыш двух долларов при первом выбрасывании и 25% на выигрыш двух долларов при втором; 25% на выигрыш двух долларов при первом выбрасывании и 25% на проигрыш одного доллара при втором; 25% на проигрыш одного доллара при первом выбрасывании и 25% на выигрыш двух долларов при втором; 25% на проигрыш одного доллара при первом выбрасывании и 25% на проигрыш одного доллара при втором (мы считаем эти вероятности истинными, ибо исходим из предпосьш-ки о независимости этих событий - см. раздел «Стохастическая независимость» следующей главы). В ходе игры комбинации образуют древовидную структуру. Поскольку в нашем сценарном спектре только два сценария (орел и решка), из каждого узла игрового дерева отходят только две ветви. Если бы в нашем сценарном спектре бьшо больше сценариев, то и ветвей бьшо бы больше:

№ выбрасывания

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка орел

решка

орел

решка

Если мы поставим 25% наших денег на первое выбрасывание и выйдем из игры, то мы не максимизируем наш ожидаемый средний общий рост (EACG).



А что будет, если выйти из игры после второго выбрасывания? Какой тогда должна быть оптимальная ставка, максимизирующая нащ ожидаемый средний общий итог, когда в одном случае мы играем при /= 1, и выходим из игры после первого кона, а в другом - играем при оптимальном /и продолжаем игру бесконечно долго?

Если мы вернемся назад и найдем оптимальное /, которое давало бы максимум среднего геометрического HPR за два первых кона в предположении, что при первом и втором выбрасываниях использовались различные значения /, то получим следующее. Во-первых, оптимальное/для выхода из этой игры после двух конов приближается к асимптотически оптимальному, меняя свое значение с 1,0 (выход после первого кона) на 0,5 для первого и второго кона. То есть если бы мы собирались выйти из игры после второго кона, то для максимизации роста нам следовало бы на оба кона, первый и второй, ставить по 0,5 счета. Напоминаю, что мы имеем право для первого и второго кона брать разные значения / Но в данном случае они оказываются одинаковыми: 0,5. Дело в том, что максимум роста для конечных и бесконечных потоков достигается на одном и том же оптимальном /

Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим две первых возможных комбинации выбрасываний монеты:

№ выбрасывания

орел

решка

орел

решка орел

решка

Откуда, перейдя к исходам, получаем:

№ выбрасывания

-1 2

Эти исходы можно преобразовать в итоги периодов владения для различных значений / Ниже это сделано для /=0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании монеты:

№ выбрасывания

0,5 2

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последней ветвью дерева - это корень степени п из последнего значения TWR (л равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае - 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

№ выбрасывания

4(2.0)

1(1,0) 1(1,0)

0,25 (0,5)



Если теперь сложить средние геометрические значения HPR и взять арифметическое среднее, то получим ожидаемый средний общий доход. В данном случае он будет равен:

2,0 1,0 1,0 0,5

4,5/4 = 1,125

Следовательно, если бы мы прекращали игру после двух конов, но делали бы это бесконечное количество раз (т. е. останавливались после двух конов), ставя на каждый кон без пропусков оптимальные 50% счета, то максимизировали бы тем самым наше EACG.

Обратите внимание, что ставка первого кона не соответ-ствовата /= 1,0, хотя это оптимизировато бы ожидаемый средний общий рост, остановись мы после этого. Вместо этого, планируя остановиться после двух конов, мы максимизируем EACG, ставя на оба кона по 0,5 счета.

Заметьте, что оптимальное /, доставляющее максимум роста, одинаково для всех конов игры, хотя и является функцией того, как долго вы будете играть. Если вы собираетесь остановиться после первого кона, то оптимальное / максимизирует среднее арифметическое HPR (для игры с положительным математическим ожиданием это /всегда равно 1,0, а игры с отрицательным математическим ожиданием - 0,0). Для игры с положительным математическим ожиданием оптимальное/убывает по мере увеличения времени до остановки (асимптотически убывает для бесконечной ифы) и максимизирует среднее геометрическое HPR. Для игры с отрицательным математическим ожиданием оптимальное / всегда остается нулевым.

Однако в течение всей игры значение / которое вы используете для максимизации роста, остается постоянным, и эта постоянная величина зависит (функционально) от того, где вы собираетесь прекратить игру. Если вы играете в орлянку «два-к-одному» и собираетесь остановиться после первого кона, то получите максимальный рост при /= 1,0. Если вы собираетесь

остановиться, сыграв два кона, то получите максимальный рост при / = 0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании. Заметьте, что, желая максимизировать EACG для остановки после второго кона, вы не ставите все свои деньги (1,0 счета) на первый кон. Аналогичным образом, планируя играть бесконечно долго, вы и на первый, и на все следующие выбрасывания будете ставить по 0,25 счета.

Обращаю ваше внимание на радикальное отличие понятий бесконечно и неограниченно. Все потоки конечны, всем нам суждено в конце концов умереть. Поэтому, когда мы говорим, что оптимальное / максимизирует ожидаемый средний общий итог, то имеем в виду такое / которое максимизирует его при бесконечной игре. На деле, оно слегка отличается от оптимального, ибо никто из нас не сможет играть бесконечно долго. То / которое даст максимум EACG, будет немного больше того, что мы называем оптимальным / а наши позиции - немного крупнее.

А что получится, если мы остановимся, сыграв три кона? Должно ли тогда / которое максимизирует ожидаемый средний общий рост, быть меньше 0,5 (остановка после двух конов), но все же больше оптимального / = 0,25 для бесконечной игры?

В этом случае наше дерево комбинаций будет следующим:

№ выбрасывания

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка орел

решка

орел

решка

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]