Так, умножение 1! * 0.9

С100%+10%, 100%-10%"

100%

100%

дает правильное

значение 0.99.

Другим способом, позволяющим изменение, является логарифмирование, логарифмы с разными основаниями, ио используют натуральные логарифмы. В нашем примере итоговую доходность можно было определить следующим способом;

правильно оценить процентное В принципе, могут применяться обычно в финансовой статистике

= 0.0%, где

P,o - цена на момент первоначальной инвестиции;

P,i - цена на промежуточный момент, в нашем примере на 10 единиц выше Л;

Р,г - цена иа момент продажи актива, в нашем примере на те же 10 единиц ниже Л;

Таким образом, и цена никуда не сходила, и доходность составила 0%, что полностью соответствует истине.

При обычном способе определения доходности имеем:

= -0.91%.

Здесь цена, как и в предыдущем расчете, никуда не сходила, а убыток возник. «Источником» убытков является, как вы уже поняли, неправильность примененной формулы. Дело адесь в том, что проценты изменяются с разной скоростью в зависимости от абсолютных изменений переменной: как мы уже могли заметить, рост переменной сопровождается более значительным увеличением процентов по сравнению с уменьшением переменной

используется исследователями при построении логарифмически нормального распределения.

Вторым отправным моментом, почему при работе на финансовых рынках эффективнее использовать не нормальное, а логнормальное распределение, является некорректность сложения процентов.

Например, если вы при инвестировании 100 единиц сначала получите доход в размере 10%, а затем убыток 10%, то это не означает, что в результате этих движений вы остались при своих. И действительно. Рост стоимости актива на 10% сопровождается абсолютным ее увеличением на 10 единиц - со 100 до 110. Последующее падение стоимости актива на 10% сопровождается абсолютным ее уменьшением на 11 (!) единиц - со 110 до 99. Для корректного нечисления процентных изменений обычно применяют правило не сложения процентов, а умножения.

Рисунок 3.19. Логнормальное распределение

Логнормальное распределение

Левосторонне смещение моды и медианы в логнормальном распределении объясняется тем, что процентное изменение значений в ряде неадекватно абсолютному изменению этих значений. Согласно вышеприведенного примера падение доходности на 10% и ее рост на те же 10% будет отражены в цейс как падение на 9.52 и рост на 10.52 соответственно. С увеличением процентов разница в абсолютных значениях становится еще более существенной.

Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины х, подчиняющейся закону логнормальиого распределения, вычисляется по следующей формуле:

Математическое ожидание: MX - fi-e Дисперсия: DXu] = е*" - е"*" Стандартное отклонение: сг, = -Jal , где

(3.16) (3.17) (3.18)

у - случайная величина, которая является натуральным логарифмом переменной х(у = 1п(х));

1Л - математическое ожидание случайной величины у, <jy - стандартное отклонение случайной величины.

Приведенными выше расчетами и примерами показываются преимущества логнормальиого распределения по сравнению с нормальным применительно к процентным данным.

Мода, медиана и среднеарифметическая логнормальиого распределения не совпадают.

Если случайная величина х распределена логнормально

Тогда >> (логарифм случайной величины дг) 1аспр<етелен нормально

Логнормальное распределение, как правило, используется при оценке опционов и расчете доходности портфельных стратегий.

Так как на практике длина любого ряда наблюдений не признается бесконечной, то можно обнаружить одно отклонение теоретического логнормального распределения от эмпирического. Это отклонение заключается в том, что <свост» распределения, который теория зачастую отбрасывает как маловероятный и незначительный, в результате суммирования бескс«ечио далеких значений накапливает достаточно существенную вероятность. На практике рынок оценивает вероятность появления правого оконечного, граничного значения в логнормальном распределении значительно выще. чем это предписывается теорией. Данный факт с успехом можно применять при работе с опционами, которые находятся далеко «вие денег» и которые при их оценке значительно недооценены.

Рисунок 3.21. Логнормальное распределение и вероятностный «хвост» Логнормальное распределение