назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]


63

Из таблицы «Стандартное нормальное распределение» найдем то значение Z, при котором вероятность равна 0.05 ((1-0.90)/2). Оно находится в интервале от 1.64 до 1.65 Возьмем за среднее 1.645.

Подставив это значение z в формулу (3.13) получим следующее уравнение;

Z-------1=1.645

сг 0.87%

В этом уравнении неизвестным является только искомый х. После перестановки н выделения х получаем: х = 1.645 * 0.87% + 0.04% = 1.47%.

Рисунок 3.18. Двусторонние границы распределения дневных изменений фондового индекса DJI при стандартизированной переменной г, равной 1.645 и искомой вероятности 90%

Нормальное распределение

1-1.47%

а+1.47%

Можно также определить более сложную интервальную вероятность, в которой обе границы оцениваемого интервала задаются.

Например Определим вероятность того, что фондовый индекс DJI окажется в интервале от -0.5% до +1%.

Для этого рассчитываются два значения z.

-0.5%-0.04% ------ =0.62

сг 0.87%

1%-0.04%

0.87%

Значение вероятности для z.05% - 0.2676, а для z+i- 0.1335.

Искомая вероятность определяется путем вычитания этих двух значений

из 1;

Р = 1 - (0.2676 + 0.1335) = 0.5989 или 59.89% Таким образом, вероятность того, что фондовый индекс DJI окажется в интервале от -0.5% до +1% составляет 59.89%.



Логнормальное распределение

Нормальное распределение может принимать отрицательные значения, что для финансовых рынков неприемлемо, ведь ценные бумаги, валюты и другие активы не могут стоить меньше ноля. Этого недостатка лишено логнормальное распределение. Оио, в силу специфики расчета, не может быть отрицательным.

Построение логнормального распределения исходит из того, что случайные величины подчиняются закону нормального распределения Этот факт доказывается центральной предельной теоремой. Согласно этой теореме математическое ожидание большого чиста независимых выборок будет нормально распределено вне зависимости от действительного распределения данных при условии конечной дисперсии. Это утверждение имеет самое непосредственное отношение к финансовым рынкам.

Например. Если рассмотреть потиковое изменение индекса DJI, то мы можем ожидать только три исхода - индекс вырастет (обозначим как +1), упадет (-1) нли останется без изменений (О). Предположим, что эти исходы равновероятны и вероятность каждого из иих равна 33.33%.

Изменение индекса ОЛ

Вероятность, %

33.33

33.33

33.33

Дальше, при следующем изменении индекса DJI он снова может вырасти, упасть или остаться без изменений. Суммарный исход двух тиковых изменений будет выглядеть следующим образом:

Сумма двух возможных тиковых изменений

+1+1

+1+0

+1-1

-1+1

-1-ю

-1-1

Изменение индекса DJI

Вероятность, %

11,11

11 11

11.11

11.11

1111

11.11

11.11

11.11

Отсюда мы видим, что всего исходов суммарного двухтикового изменения индекса DJI может быть пять: +2, +1, О, -1, -2. Распределение вероятности этих изменений выглядит следующим образом (просуммируем вероятности всех однотипных исходов):

Изменение индекса DJI +2

+1 j 0

Вероятность, % (11.11

22.22 1 33.33

22.22

11.11



Изменение индекса DJI

Вероятность, %

22.22

25.93

22.22

П.11

Как видно, чем дальше мы рассматриваем потиковые измшения индекса DJI, тем меньше становится вероятность крайних значений. При этом также очевидно, что распределение вероятности с каждым добавлением нового тика принимает асе более колоколообразную форму нормального распределения.

Здесь мы применяли правило сложения изменений: +1+1-1, +1-1+0 и т.д. Однако при работе с процентными числами и вообще реальными числами изменений того же индекса DJI этот подход никак нельзя назвать правильным.

Например. Как мы знаем, за одно тиковое изменение индекс DJI может измениться на произвольную величину, например, на +0.2 пункта и на +20 пунктов. И первый, и второй случай являются положительным результатом которому мы присвоим ранг +1. Однако в процентном соотношении эти плюсы далеко не одинаковые и было бы по меньшей мере не логично говорить об их равенстве. Еще большие проблемы возникают, когда первое изменение индекса DJI происходит на +0.2 пункта, а второе на -20. Одинаковый ранг этих изменений (+1 и -1 соответственно) в этом случае введет нас в заблуждение относительно происходящего на рынке, ведь суммарное изменение индекса DJI было на самом деле не О (+1 - I = 0), а-19.8 (+0.2 - 20 = -19.8).

Для точного отображения происходящего для этих чисел гфименяют правило умножения.

Р, Р, Р, Р,

« о i i-l

Р,о - цена на пд)воначальный момент; Рп - цена на последний ;гый момент; I - количество изменений цены.

Применив к формуле (3.14) логарифмирование получим:

Р Р Р Р

ln-! = ln-! + ln- + ... + ln-(3.15) Р Р, R R

Если мы предположим, что каждая цена Л является случайной и независимой величиной, подчиняющейся закону нормального распределения, то Р,

соотношение -- также является случайной величгаой. Таким образом,

согласно центральной предельной теоремы сумма натуральных логарифмов Р

In- будет являться нормальной распределенной. Именно этот факт и

После следующего, третьего тикового изменения возможных исходов становится уже семь, а распределение вероятности приобретает следующий вид:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [ 63 ] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147]