сг- стандартное отклонение;
а - среднеарифметическое значение ряда;
7г- число «Пи», являющееся отношением длины окружности к ее диаметру и равное 3.14159265358979 (древние египтяне определяли число «Пи» как 3 1/7); е - число е, являющееся основанием натуральных логарифмов. Число е рассчитывается как сумма бесконечного ряда:
е = 1+1 + 1 + 1 + ... + !+...й=2.71828182845905,где 1! 2! 3! и!
! - знак «!» в знаменателе дроби обозначает факториал.
Факториал рассчитывается как произведение, например и: (и-1)*(и-2)*(и-3) и т.д. Так, если и = 5, то и/ = 5*4*3*2*1 = 120.
Примечание. Факториал нуля равен единице (О! = I).
Для определения вероятности наступления события г достаточно подставить значение этого х в формулу (3.12) и получить искомое значение. Например.
Одновременно и независимо друг от друга выбрасывается две игральных кости и производится суммирование выпавших на них чисел. Найдем вероятность получения суммы в 5 единиц.
1. Сначала необходимо определить среднеарифметическое значение всех возможных вариантов сумм отдельных граней двух кубиков для чего составим следующую таблицу.
Таблица 3.4. Определение суммы всех вариантов одновременного
| 1-ая игральная кость | |
| | | | | | | | сумма |
| | 1+1=2 | 2+1=3 | 3+1=4 | 4+1=5 | 5+1=6 | 6+1=7 | |
| | 1+2=3 | 2+2=4 | 3+2=5 | 4+2=6 | 5+2=7 | 6+2=8 | |
. § | | 1+3=4 | 2+3=5 | 3+3=6 | 4+3=7 | 5+3=8 | 6+3=9 | |
| | 1+4=5 | 2+4=6 | 3+4=7 | 4+4=8 | 5+4=9 | 6+4=10 | |
| | 1+5=6 | 2+5=7 | 3+5=8 | 4+5=9 | 5+5=10 | 6+5=11 | |
| | 1+6=7 | 2+6=8 | 3+6=9 | 4+6=10 | 5+6=11 | 6+6=12 | |
| сумма | | | | | | | |
Сумма всех возможных вариантов = 252. Всего вариантов = 36
Среднеарифметическое значение одиого варианта (а) = 252/36 = 7
Формула для вычисления функции нормальной плотности вероятности наступления конкретного события для ряда, подчиняющегося закону нормального распределения выглядит<ледующим образом:
<р (X) = -Le"-"", где (3.12)
2. Следующим действием необходимо определить стандартное отклонение имеющегося ряда.
Сумма | {х,-х) | | Сумма | (х,-ж) | | Сумма | (х,-г) | | Сумма | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
Сумма разности квадратов: (х, - 3f ) = 210
Дисперсия: -
Стандартное отклонение: сг- Л - = 2.45
11 и-1
3. Рассчитаан значение вероятности для конкретного значения х = 5:
2J2<--9n2..3 =11.67%
2.45л/2*3.14
Это значение вероятности немного отличается от действительной вероятностной оценки (11.11%), что объясняется дискретным характером исследуемого ряда. На приведенном ниже рисунке видны различия между распределением вероятности по нормальному заксму и действительной плотностью вероятностей.
Рисунок 3.15. Соотношение фактической вероятности и теоретической вероятности, рассчитанной согласно нормальному закону
-нормальный закон
-действительная вероятность
значение х
, где
(3.13)
z - стандартизованная переменная, при которой « = О и о-= 1.
Графически величина z выглядит как площадь под функцией нормального распределения от z до бесконечности: заштрихованная область после z (при z > ")
Рисунок переменная г
3.16. Нормальное распределение и стандартизированная Нормальное распределение
При помощи статистической таблицы «Стандартное нормальное распределение» (дана в приложении) значение z даст искомую интервальную вероятность. Если Z = й, то Z = О, а вероятность такого интервала равна 50%.
Например
Рассмотрим ряд изменений фондового индекса DJI за период с 04 января 19) 5г. по 27 августа 1999 года. Здесь нам придется сделать предположение, что данный ряд подчиняется закону нор.мального распределения. Впрочем, если это НС так. то плотность вероятности этого ряда даже близко не будет напоминать нормальное распределение. На приведенном ниже рисунке видно, что ряд
Сглаженный характер функции нормальной плотности значении х подтверждает обоснованность применения этого вида распределения для непрерывных рядов. Однако вместе с тем видно, что достаточно высокая достоверность полученной оценки вероятности позволяет использовать нормальное распределение и для дискретных длинных рядов.
Когда требуется определить вероятность того, что х будет находиться в некоем значимом интервале, что является гораздо более обычным для применения финансовой статистики по сравнению с оценкой вероятности наступления единичного x. использование формулы (3.12) будет затруднено. Обычно в этих случаях используют следующую упрощенную формулу.