назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]


95

d =-

1323 In-+ 0.09863 1325

0.10

0.1743

= 0.1252149.

0.1743x/0.09863 Далее рассчитаем функции распределения для и d:

Ф№ = 0.5 +w(0.5-z(1.3302744/-1.821256/+ 1.7814779/-0.356538/+0.3193815у))

2 = 0.39894236"

У = :

1 + 0.2316419 d

l,eaiu...d>0 -l,eaiu...d<0

Отсюда Ф{dJ= 0.5714, а Ф{d)= 0.5498.

И, наконец, рассчитаем минимальную премию:

РГ" = е-" (-5„е"Ф(й, )-KO{d )),

откуда

Рг"" = 2.7183-°-"°(1323х2.7183-"° x0.5714-1325x0.5498) = 34.58.

Таким образом, теоретическая стоимость опциона на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S&P 500 с указанной выше спецификацией составляла 34.58.

Реальная стоимость этого опциона на рьшке составляла 34.60, что практически точно совпало с полученной нами оценкой.

Премии опционов можно рассчитывать при помощи так называемых опционных калькуляторов. Так, калькулятор для американского рынка акций находится на web-странице чикагской опционной биржи СВОЕ:

http: www. cboe. com/TradTool/OptionCalculator. asp.

Модель Блэка-Шоулса исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Это допущение легко избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов из премии, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку). Другим допущением модели Блэка-Шоулса является то, что она рассчитана только на опционы европейского типа. Третье предположение - что рынки являются эффективными, а динамика рыночных цен случайна. Это, пожалуй, самое спорное допущение, отражаемое в использовании трейдерами внутренней, а не исторической волатильности. Также следует отметить, что в мо-



дели Блэка-Шоулса совершенно не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер опционами.

Модификацией модели Блэка-Шоулса для опционов на фьючерсы является модель Блэка (Black). Фишер Блэк разработал эту модель в 1976 году специально для оценки опционов на фьючерсы. При этом он рассматривает фьючерс как акцию, которая не приносит дохода свыше безрисковой процентной ставки.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Сох-Ross-Rubinstein) учитывает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка-Шоулса и являются усовершенствованным вариантом биномиальной модели. Вместе с тем, модель Кокса-Росса-Рубинштейна дает результаты, близкие к модели Блэка-Шоулса. Отличие этих двух моделей заключается в учете возможности досрочного исполнения американского опциона, что очень важно при высокой безрисковой процентной ставке.

Модель Гармана-Кольхагена (Garman-Kohlhagen) создана специально для оценки опционов на валюты. В этой модели валюта рассматривается как актив, который приносит доход на уровне безрисковой процентной ставки.

Модель Мертона (Merton), модель The Barone-Adesi-Whaley Quadratic model, разработана в 1973 году. Эта модель исходит из случайного характера изменений безрисковой процентной ставки, что является лучшим отражением действительности, нежели допущения предыдущих моделей. Обычно модель Мертона используется для европейских опционов на акции. Также она дает неплохую оценку стоимости опционов на фьючерсы и более точные оценки для опционов «вне денег».

Модель Дмитрия Буртова учитывает основной недостаток, присущий перечисленным выше моделям - предположение о неизменности волатильности для опционов с различными ценами исполнения. Для расчета теоретической цены опциона в модели Буртова используется кривая доходности (Yteld Curve), построенная на основании вчерашних цен закрытия (Yesterday Settlment). Расчет цены опциона включает в себя следующие шаги:

а) оценку вчерашней кривой доходности и сегодняшней доходности конкретного опциона. Оценка проводится по модели Блэка;

б) определение сдвига вчерашней кривой доходности относительно сегодняшнего ее значения;

в) расчет средневзвешенной кривой доходности на базе вчерашней и сегодняшней кривой с учетом тиковых объемов (Tick Volume) в качестве весов для различных страйков (вчерашний тиковый объем полагается равным 1). Например, если сегодняшний тиковый объем для рассматриваемого опциона равен 4, то результирующая кривая доходности в точке, соответствующей



Для расчета премии американских опционов необходимо построить на интервале моделирования от О до Г равномерную сетку и оценить дисконтированный средний выигрыш во всех узлах, ключевых точках сетки по формуле

данному страйку, будет находиться на дистанции 4/5 между вчерашней и сегодняшней кривой доходности, располагаясь ближе к сегодняшней;

г) полученная доходность подставляется в формулу Блэка для расчета цены и коэффициентов греческой таблицы опциона.

При использовании всех перечисленных выше моделей предполагается, что цены изменяются по логнормальному распределению. Однако в реальных условиях это условие не всегда выполняется. Согласно теории хаоса рынок не является случайным, а значит, и нормально распределенным. Это замечание относится как к развитым, так и к развивающимся рынкам. Эффект отклонения изменения цен от нормального распределения наиболее заметен для опционов с малой стоимостью. Это объясняется тем, что участники рьшка всегда помнят о возможном экстремальном движении цен базового актива, которое приведет к сильному увеличению стоимости данных опционов, а значит, их реальная рыночная стоимость обычно оказывается более высокой, чем это следует из формулы Блэка- Шоулса. Данный эффект носит название «улыбка волатильности» (volatility smile).

Модель Монте-Карло эксплуатирует классический метод Монте-Карло, который оценивает среднее значение некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опционов модель Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания премии (здесь дана оценка премии европейского опциона колл):

pj-caii = (e-«(5.j. - К)).

Здесь формула в скобках e(S.f-Ky является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный выигрыш. Также в данной формуле вместо стандартного выигрыша fS-K)* может использоваться любой нестандартный выигрыш, который больше нуля: F(S.j, К) 0.

Премии американских опционов колл и пут по методу Монте-Карло могут быть вычислены как:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]