назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [ 94 ] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]


94

1п + Г К

Ф(d) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Ф(с1) для колл-опционов находится в интервале от О до 1 (или от О до 100%), а для пут-опционов - от -1 до О (или от -100 до 0%);

ФУ) = 0.5 + w[0.5 - 2(1.3302744у - 1.821256у + 1.7814779у - 0.356538у + 0.3193815у)];

z = 0.39894236"

l + 0.2316419d

l,eaiu...d>0 -l,eaiu...d<0]

e - экспонента (константа с численным значением 2.71828182845905);

К - цена исполнения опциона;

- цена базисного актива в момент покупки/продажи опциона;

г - безрисковая процентная ставка (например, если 6%, то для расчета используется 0.06);

Г- доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365);

тону (Robert Merton) и Майрону Шоулсу в 1997 году была присуждена Нобелевская премия по экономике. Эта модель хорошо описывает ценообразование европейских опционов на акции. Узким местом модели Блэка- Шоулса является неизменность волатильности в течение жизни опционов со всеми ценами исполнения, а также подчинение цен случайному процессу с логнормальным распределением. Согласно модели Блэка-Шоулса премия опциона колл европейского стиля находится в прямой зависимости от цены базисного актива, волатильности, количества дней до экспирации и безрисковой процентной ставки, а также в обратной зависимости от цены исполнения.

Формулы для расчета стоимости европейских опционов колл и пут в модели Блэка-Шоулса выглядят так:

Рг" = е- (-5оеФ(-< )+ Ф(-- ));

рг=е-\-8,е-Ф{аукФ{а )),



X, =1п

где- цена в момент времени (t);

J - цена в предыдущий момент времени (f-1).

Далее рассчитывается среднеарифметическое ряда значений за некоторый ограниченный период времени:

где и - некоторый ограниченный период времени, за который рассчитывается волатильность (например, 10,20,30,60,90,120,150 или 180 дней).

Далее рассчитывается историческая волатильность за этот ограниченный промежуток времени

Затем приведем рассчитанную выще историческую волатильность за некоторый промежуток времени к годовому значению

HV(lyear) = HV,,x>/252,

где 252 - количество рабочих дней в календарном году.

В формуле Блэка-Шоулса размер премии зависит от щести параметров:

Pr = Pr{S,K,T,r,m,s).

Значения всех параметров, кроме т, мы уже рассмотрели раньще. Параметр задается в зависимости от вида базисного актива:

т = г - для опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды;

а - волатильность, измеряется и дается в процентах годовых. В наиболее распространенном варианте представляет собой стандартное отклонение цены.

Один из наиболее распространенных вариантов расчета волатильности (логарифмический) выглядит следующим образом. Сначала рассчитывается ряд логарифмов изменения цен:



"ол/Г

" 0.1743Хл/0.09863

1323 In-+ 0.09863 1325

= 0.1799546

m = r-q - ДЛЯ опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;

т = r-r - для валютного опциона, где г - безрисковая ставка процента в валюте торговли, а - в базисной валюте;

m = r-q - для опционов на фондовые индексы, где q - средняя ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;

m = О - для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь - текущая фьючерсная цена;

m = r-q - для облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а - текущая цена базисной облигации.

Практический пример расчета теоретической цены опциона

В качестве примера рассчитаем теоретическую стоимость опциона колл на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S&P 500.

Начальные условия. Тип контракта - американский. Дата исполнения - 21 мая 1999 года. Текущая дата - 15 апреля 1999 года.

Т - доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365). На текущую дату срок до истечения опциона составляет 36 дней. Таким образом, оставшаяся до истечения опционного контракта доля года равна 0.09863.

е - экспонента. Численная константа 2.71828182845905.

К - страйк равен 1325.

Sg - цена фьючерсного контракта на курс фондового индекса S&P 500 в момент покупки опциона равна 1323.

г - безрисковая процентная ставка равна 10%. s - внутренняя волатильность равна 17.43.

m = г-q. Если q - сумма планируемых к выплате дивидендов держателю акций с момента эмиссии опциона равна О, то /п = г, т.е. т = 10%. Отсюда рассчитаем

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [ 94 ] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]