назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]


87

Если рассматривать теорию бифуркации в пересечении с теорией эффективных рынков, в точке бифуркации на рынок поступает новая информация, которая приводит к очередному бифуркационному изменению. Как только действие информации заканчивается, рынок успокаивается. Успокаивается до появления новой информации, а значит, до новой точки бифуркации.

Динамические переменные принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Логистическое уравнение можно свести к следующей системе уравнений при условии, если стремится к yf.

X„(1-XJ = X„ ,(1-X„,); Х„=СХ„ , (1-Х„,).

Из этой системы выводится простая формула, которую мы уже видели ранее:

X =1-1/С.

Отсюда вывод, что Х меньше единицы при любых значениях С. Второй вывод, что Х тем больше, чем больше С. Это означает рост точки сходимости (или нахождение точки, в которой логистическое уравнение стремится найти равновесие) вместе с ростом внешнего параметра.

На основании этой формулы можно легко рассчитать, что при С = 3 решение логистического уравнения стремится к 2/3, т.е. к 0.666666... в периоде.

Рассчитать логистическое уравнение можно на персональном компьютере, используя электронную таблицу Microsoft Excel. Для этого в ячейку А1 поместите значение внешнего параметра С. Начните, например, с 0.5. В ячейку В1 поместите значение комплексного числа X, например, 0.1. Даль -ше в ячейку В2 необходимо будет ввести следующую формулу, которую продлите на максимально возможное для одного столбца количество значений (например, до 65536-й строки):



=$А$1ХВ1Х(1-В1).

Элементарные расчеты покажут вам, что действительно с ростом периодов п результат логистического уравнения стремится к нулю.

При увеличении параметра С до 2 логистическое уравнение уже через п = 5 (при X = 0.1) сходится к 0.5.

При увеличении параметра С до 3 результат логистического уравнения действительно сначала словно раздваивается, однако впоследствии он так же, как и при всех предыдущих значениях С, стремится сойтись к одной точке, значение которой мы уже знаем (2/3).

Из формулы логистического уравнения видно, что с ростом п нивелируется разница в первом значении X для итогового решения логистического уравнения. Что интересно, это верно и для больших значений С. Из этого можно сделать вывод, что в логистическом уравнении самой важной переменной является величина внешнего параметра С. В биологическом примере этим параметром является скорость роста популяции. При небольших значениях скорости роста, как показывают расчеты, она определит период времени п, за который система придет в равновесие.

Фейгенбаум в результате своих исследований нашел следующую закономерность в появлении бифуркаций:

Р К -Кл 4.669201660910...

К.,-К

где F - число Фейгенбаума (универсальная константа, подобно числу ж); - значение внешнего параметра С при п-й бифуркации.

Кстати, универсальность константы Фейгенбаума как характеристики многих естественных хаотических процессов оставляет надежду на систематизацию и классификацию хаоса.

Используя число Фейгенбаума, можно найти значение С, при котором можно будет ожидать очередной бифуркации решений логистического уравнения:

К,- .к.

4.669201609...

Применение этой формулы позволяет предсказывать, какие значения внешнего параметра С являются критическими для возникновения новой бифуркации. Проведенные мной расчеты показали, что внешний параметр С для рассматриваемого нами логистического уравнения стремится к пределу 3.569945672, и сколь долго бы я не проводил расчеты в поиске следующей точки бифуркации, они заканчивались неудачей. Конечно же



вручную МОЖНО ввести и большие значения С, однако приведенная выше формула для определения значения внешнего параметра С при п-й бифуркации в этом нам уже не поможет. Вместе с тем эта формула дает возможность наглядно понять, как очень малые изменения внешнего параметра С приводят к очень большим изменениям в решении логистического уравнения через большое количество периодов п.

Фейгенбаум также установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода. Здесь следует сказать, что в литературе, посвященной теории хаоса, делаются ссылки на экспериментальные подтверждения этого перехода для широкого класса механических, гидродинамических, химических и друтих систем.

Результатом исследований Фейгенбаума стало так называемое «дерево Фейгенбаума» (рис. 9.12).

Рисунок 9.12. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Между логистическим уравнением дерева Фейгенбаума [Х = СХ (1 - XJ] и уравнением множества Мандельброта (Z = + С) видна схожесть, которая проявляется в том числе и в простом графическом сопоставлении. Здесь мы видим пересечение бифуркагщонных моделей с фракталами, что еще раз подтверждает, что бифуркации имеют фрактальную природу, так как они тоже самоподобны.

Разница здесь только в том, что дерево Фейгенбаума растет в противоположную сторону от множества Мандельброта. Это объясняется разницей знаков внутри соответствующих формул, где в первой формуле квадрат числа X отнимается, а во второй квадрат числа Z прибавляется.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]