назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]


86

Рисунок 9.10. Множество Мандельброта (Z = Z + С)

ки величины риска вполне оправданно. Однако если рынки не случайны, а хаотичны, то фрактальная размерность как мера нелинейности движения цены подходит гораздо лучше.

Различают детерминистские фракталы, примером которьгх является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя они и генерируются простой формулой.

Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы:

Z =Z + C,

n+l n

где Z и с - комплексные числа; а - положительное число.

На рисунке 9.10 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Подводя итог фрактальной геометрии, следует отметить, что фракталы хорошо описывают природу, однако не объясняют ее.

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.

Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, так называемый катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.



Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фей-генбаум {Feigenbautn). При создании собственной теории о фракталах Фей-генбаум в основном анализировал следующее логистическое уравнение:

„«=СХ -С(Х/ = СХ (1-Х),

где X - комплексное число; С - внешний параметр.

Из этого уравнения Фейгенбаум вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрим классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Х. Через год появляется потомство численностью Х. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения {CXJ, где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом [С(Х)].

Результатом расчетов являются следующие выводы:

- при С 1 популяция с ростом п вымирает;

- в области 1 < С < 3 численность популяции сходится к постоянному значению Х= I - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений;

- в диапазоне 3 С 3.57 начинают появляться дополнительные бифуркации и разветвление каждой кривой на две. При значении С = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. До этого точка была притягивающей фиксированной, точкой схождения решений логистического уравнения. При С = 3 функция раздваивается (т.е. у логистического уравнения появляются два решения) и никогда больше не сходится к одной точке. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается. Впоследствии появляются четыре, восемь, шестнадцать и т.д. решений. Так, при С = 3.569945672 количество решений логистического уравнения достигает 65536;

- при С > 3.57 количество решений логистического уравнения начинает стремиться к бесконечности, в результате чего происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

С ростом С иногда появляются области, в которых количество решений логистического уравнения вновь снижается до видимых величин. При



С от 3.627 до 3.631 (все включительно) количество решений снижается до шести, а при С = 3.632 достигает двенадцати.

Впоследствии, однако, с ростом С количество решений вновь увеличивается.

Интерес может также представлять значение внешнего параметра С = 3.67857351. До этого значения решение логистического уравнения для каждого п является или больше или меньше предыдущего. После достижения С такого значения начинает проявляться следующий эффект - за растущим значением иногда начинают проявляться также растущие значения Х, хотя ранее за ним всегда следовало падение Х.

Подобное поведение логистического уравнения подвигло классиков теории хаоса к выводу о том, что итогом развития всех эволюционирующих физических систем является состояние, похожее на состояние динамического хаоса.

Отсюда делаются следующие выводы о хаотических системах.

1. Хаотические системы являются системами с обратной связью, когда от предыдущего значения зависит последующее. Этот факт прямо указывает на то, что хаотические системы не случайны, так как одним из свойств случайных блужданий является независимость предыдущих и последующих событий друг от друга.

2. В хаотических системах много точек равновесия. Так, при достижении параметра С определенного значения наблюдается более чем одна точка равновесия. В нашем примере это свойство проявляется уже при С = 3. До первой точки бифуркации система является линейной и еще нехаотична. Однако уже после первой бифуркации динамика системы становится нелинейной, приобретая все больше хаотических очертаний. И после С > 3.57 количество вариантов решений логистического уравнения приобретает завершенный хаотический характер.

3. Хаотическая система является фракталом. Как мы помним, главным свойством фракталов является самоподобие. Так и в известной бифуркационной модели, малые элементы подобны большим, что очень хорошо видно на рисунке 9.11.

Рисунок 9.11.

Зависимость численности популяции от параметра С. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Х„, = СХ„ (1 - Х„)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]