назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]


85

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции.

Примерами случайных фракталов является почти все, что мы видим в природе, например деревья. Каждая из веток дерева подобна другой ветке и самому дереву в целом, хотя при этом и обладает отличительными особенностями.

Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Еще одно, третье свойство фрактала заключается в корреляции между всеми его точками. Этого точно нет в случайных процессах, что является еще одним подтверждением того, что даже самые причудливые фракталы не являются случайными, хотя и хаотические. Все точки фрактала зависимы друг от друга и малейшее изменение в одной из них приводит к изменению самого фрактала. Это свойство фракталов является критически важным для определения хаотических систем как неслучайных. Эмпирический опыт, уже подтвержденный целым рядом исследований, дает основание говорить о том, что рынки также являются неслучайными, так как они имеют память, а значит, каждое последующее событий на рынке зависит от предыдущего.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом, например облака, деревья, изгибы рек, биение сердца, популяции и миграции животных или же языки пламени.

При этом различают детерминистские, как правило, симметричные фракталы и случайные фракталы. В природе симметричных фракталов не существует, однако они помогают лучше понять характеристики и порядок построения фракталов.

Рассмотрим пример одного из классических симметричных фракталов - ковер Серпинского (рис. 9.8).

Рисунок 9.8. Фрактал ковер Серпинского



▲АА

1-R итерация

2-н итерация

3-я итерация

Рисунок 9.9. Построение ковра Серпинского

ковер Серпинского

Фрактал является аттрактором (пределом и целью) движения хаотической системы. Почему эти понятия идентичны? В странном аттракторе так же, как и во фрактале, по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

Самоподобие на рынках можно увидеть при чтении обыкновенных графиков. Например, попробуйте различить минутный, часовой и дневной графики любого одного товара и вы увидите, насколько они похожи и однообразны. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию, или, как он ее еще назвал - геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» {The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, так как он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.

Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Например, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, трехмерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных фрактальных фигур и было введено по-



где D - фрактальная размерность;

N - количество окружностей, необходимых для покрытия исследуемого фрактального объекта; г - радиус этих окружностей.

Понятно, что чем больше окружностей, тем больше и радиус этих окружностей, и поэтому пропорция остается неизменной. Используя эту формулу можно рассчитать фрактальную размерность динамики цены акции. Чем ближе эта размерность будет к 1, тем прямолинейнее является динамика цены. И наоборот, чем ближе фрактальная размерность к 2, тем более изрезанной, ломаной будет выглядеть эта динамика.

Фрактальную размерность можно вычислить также при помощи показателя Херста (Я). Мандельброт в своих работах показал, что фрактальная размерность является обратной величиной от Я. Например, при Я = 0.5 фрактальная размерность равна 2 (1/0.5), а при Я = 0.8 фрактальная размерность равна 1.25 (1/0.8).

Эдгар Петере в своей книге «Хаос и порядок на рьшках капитала» указывает на то, что фрактальную размерность более предпочтительно использовать при анализе риска ценной бумаги, нежели стандартное отклонение. Последнее хорошо характеризует изменчивость случайных рядов. И если относиться к рынку как к случайному процессу, то в этом случае применение стандартного отклонения в качестве главной характеристи-

нятие «фрактальное измерение». Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2, но меньше 3. Это плохо укладывается в евклидову геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Физический смысл этой размерности очень прост. Он означает, что в классическом трехмерном пространстве остается незаполненной из-за естественно имеющихся в скомканном листе бумаги пробелов и дырок часть пространства.

Для менее чем двумерных объектов (например, движения рьшочных цен) вычисление фрактальной размерности можно произвести по следующей формуле:

logN -ПЛ

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]