назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144]


142

Собственно волатильность получается умножением этой величины на корень из числа

рабочих дней в году:

ст =(5 л/252.

Истинная волати-льность для периода, оставшегося до даты экспирации опциона - это величина, знать которую мечтал бы каждый опционный трейдер, поскольку это дало бы возможность точно рассчитать теоретическуто цену опционов и определить, являются ли рыночные цены опционов заниженными ши завышенными. Покуттка недооцененных ми продажа переоцененных опционов позволта бы гарантированно получить положительный результат, используя динамический хедж (см. ниже).

Одним из ориентиров дтя прогноза истинной волапшьности слуокит историческая волатильность. Для расчета исторической волатильности может использоваться следующий прием. Задавшись некоторой шириной окна, например, в 20 точек (20 рабочих дней или 1 месяц), «скользят» этим окном по имеющейся записи цены базисного актива - в данном случае фьючерса. Для попадающих в окно точек волатильность о определяется по тем же формулам, что и выше, и отображается на графике для даты, являющейся правым краем окна. Более распространенны.ми в настоящее время являются методы оценки волатильности EWMA и GARCH. Если в (2) положить и = Ои использовать упрощенный вариант этой формулы:

то отличие результатов, как правило, пренебрежи.мо мало. Отдельные наблюдения «/в (3) суммирулотся с одинаковы.ми весами. Обобщением этого выражения является

= yV+a-uf , (4)

r+JJ"/ =1 . (5)

а величина F имеет смысл долговременного среднего для величины 8 и вводится для учета тенденции возврата волатильности к этому среднему при этом скорость возврата регулируется весовыми коэффициентами. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента.

В GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) используется рекуррентный вариант соотношения (4). Предположим, что с течением времени в каждый дискретный момент tj вычисляется своя оценка волати-льности б. В наиболее распространенном методе GARCH(1,1) по оценке б./ и последнему наблюдению «f новая оценка 5 вычисляется следующим образом

5l = YV+a&it+fiul , (6)

где а, /?, у - постоянные положительные коэффициенты, а < 1. Если предположить, что еется бесконечная предыстория наблюдение последовательно преобразована в выражение:

имеется бесконечная предыстория наблюдений то эта рекуррентная формула может быть



di = YV{l + а+а +...) + P(ui + aul, + аи1.2 +)

Нетрудно видеть, что (5) в данном случае эквивалентно тому, что а + /3 + у = 1.

Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором 7 = О, то есть не учитывается возврат к среднему Именно таким способом рассчитана историческая волатильность на рис. 14 с параметром а =0.90.

Опционная волатильность (implied volatility) является еше одним индикатором, используемым при прогнозе истинной волатильности. Как известно, для стоимости американски.ч опционов на фьючерсы не удается вывести «готовую» формулу (хотя существуют приближенные выражения, а также сколь угодно точные численные методы расчета). При .малых сроках до исполнения, небольших процентных ставках и страйках вблизи фьючерсной цены отличие стоимости американских опционов от европейских незначительно, поэтому здесь в иллюстративных целях ущрошенно используется формула Блэка дтя стоимости европейских опционов на фьючерсы:

C = e-T[FN(dj)-EN(d2)], Р = С+еЕ - F\, (7)

где cf] =

+ 0.5СТ-Г In

d2 =

- O.SoT

N(x) - функция стандартного нормального распределен™ (встроенная функция Excel). В (7) С и Р - это теоретические стоимости опционов кодт и пут, а входными пара.метрами для их расчета являются: F- фьючерсная цена, Е - страйк, Т- время до истечения срока действия опциона в долях года, а - волатильность (например, если волатильность равна 40%, то необходимо подставить 0.4), г- так назьшаемая непрерывно начисляемая процентная ставка, связанная с обычной простой ставкой R (в процентах годовых) соотношением е= 1 + RT. При нахождении опционной волатгшьности необходимо, подставляя в (7) цену реальной сделки по опциону колл гьли пут и фьючерсную цену в этот момент при известных остальных параметрах, подобрать значение волатильности ст. Один из способов состоит просто в том, чтобы увеличивать волатильность от нуля с некоторым шагом, пока теоретическое значение стоимости опциона не превысит фактическое. При этом в выражении е в качестве Т,

как обычно, берется полное количество дней, деленное на 365, а в выражении сг \Т - количество рабочих дней, деленное на 252 (хотя отличие обьино мало и им можно пренебречь).

При проведении расчетов принималось R = 15%. В соответствии с реко.мендациями автора книги обрабатывались все опционные сделки определенного дня и вьиислдлась единая усредненная опционная волатильность этого дня, при этом отдельные значения опционной волатильности брались с весами, тем меньшими, чем дальше страйк опциона отстоит от текущей фьючерсной цены. В качестве весов бьшо взято выражение

Известны трудности с подбором эквивалента для термина implied volatility, встречаются варианты: подразумеваемая, предполагаемая, ож1щаемая, внутренняя, индуцированная волатильность. Здесь не делается попытки перевода этого термина, а просто предлагается новый термин, подчеркивающий происхождение этой волатильности (так же как выше implied геро rate заменена на «доходность спот-фьючерс»). Еще одним соображение.м является аналогия с interest-rate swap yield curve (кривой доходностей, выводимой из процентных свопов) - термин прямо указывает на источник данных дтя построения кривой.



где F - фьючерсная цена в момент сделки по опциону, S - страйковая цена опциона (500 рублей - шаг цены между страйками наиболее ликвидных серий, так как наиболее активно сделки заключались по опционам на страйках 3000, 3500,4000,7000). Сглаживание по времени не потребовалось ввиду достаточно плавного измененш полученного показателя. Результат расчетов изображен на рис. 14 как «опционная волатильность».

Для анализа рис. 14 желательно иметь также более глубокую ретроспективу На рис. 15 показана динамика цены акции с октября 1998 года, а на рис. 16 для каждого момента дана истинная волатильность в предьщущий трехмесячный период (кривая «волатильность») и историческая волатильность, рассчитанная методом EWMA с параметром а = 0.99 по данным, не включающим предьщущий трехмесячный период (кривая «EWMA 0.99»). Иными

РАО "Е ЭС России"

1Г.25

Рис. 15. Цена июньского фьючерса на РАО «ЕЭС России»

РАО "ЕЭС России"

Рис. 16. Волатильности

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144]