аБ, Линейно-мультипликативный тренд
Значение показателя при таком виде тренда превзойдет (или будет меньше) предыдущее значение приблизительно на один и тот же процент на всем рассматриваемом промежутке времени. На рис, 2.2 показана подобная ситуация. При этом со временем увеличивается не только среднее, но и разброс индивидуальных значений вокруг среднего (тренда).
Рис. 2.1. Динамика спроса с линейно-аддитивным трендом (аЛ)
Рис. 2.2. Динамика спроса с линейно-мультипликативным трендом (аБ)
вА. Комбинация линейного и сезонно-аддитивного тренда
Этот тип 1[ренда может описывать также ситуацию чисто сезонного тренда бйз лийейного элемента. Однако в общем случае для модели этого типа Характерно присутствие сезонного тренда, который в свою очередь моет линейно расти. Линейный и сезонно-аддитивный тренды изображены на рис. 2.3. Как видим, из года в год повторяются два пика.
Строго позоря, все сезонные модели мультипликативны и имеют лишь один линейный элемент (poci), он и будет аддитивным.
1�61
б£. Комбинация линейного и сезонко-мультипликативного тренда Описывает еще и случай чисто сезонно-мультипликативного тренда без линейного роста (рис. 2.4). Как и для комбинации линейного и се-зонно-аддитивного трендов, аналитическое исследование этого типа трендов предполагает возможность линейного роста.
Рис. 2.3. Динамика спроса с линейным и сезонно-аддитивным трендом (вА)
Рис. 2.4. Динамика спроса с сезонно-мультипликативным трендом {вБ)
Рассмот1)енные типы и характеры трендов чаще всего йстречаются в промышленной статистике*. Более детально мы рассмотрим прогностические модели, основанные на трендах типов: аА, аВ, вА н вБ. Ъ конце настоящей главы приводится список наиболее популярных методов прогнозирования нестационарных показателей.
аА, Линейно-аддитивная прогностическая модел При линейно-аддитивной модели тренда предполагается, чхо среднее прогнозируемого показателя dt изменяется по Линейной функции от времени, или, более конкретно, f
di==ix +Kt + Et (2.0)
* Методы идентификации трендсв изложены в гл. 6. - Примеч. пер.
где f.t - среднее процесса, i - скорость его роста, - случайная ошибка с нулевым средним*.
Для описания этой ситуации будет предложено несколько моделей. Последовательно рассматривая каждую из них, мы укажем и различия между ними.
1) Метод Холта
Метод, предложенный Холтом [12], основан на оценке параметра - мере степени линейного роста (или падения) показателя во времени. Фактор роста Я оценивается по коэффициенту 6, .который в свою очередь вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разностей между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями процесса щ и их предыдущими значениями и. Характерная особенность данного метода: вычисление текущего значения экспоненциально взвешенного среднего включает в себя вычисление прошлого показателя роста адаптируясь таким офазом к предыдущему
значению линейного тренда. Ниже приводятся уравнения для метода Холта:
щА(1гЛ-[\-А){и+Ьг) (2.1)
bt-B {ut - Щг) + (1 - iB) ,-1, (2.2)
где параметр fi, так же как и параметр Л, лежит в пределах от нуля до единицы.
Прежде чем приступить к прогнозированию по той или иной прогностической модели тренда, необходимо уточнить период, на который осуществляется прогноз. На протяжении этой главы будем считать, что прогноз вычисляется на г моментов времени вперед (период учреждения), т. е. до момента / + т (горизонт прогнозирования).
После оценки в модели Холта показателя роста (или падения) Ьг прогноз на т моментов времени, -т, е. /i+t, вычисляется суммированием оценки среднего текущего значения {{ц) и ожидаемого показателя роста 6/, умноженного на количество моментов времени прогнозирования т, т. е.
Л+т - Щ Ь,х. (2.3)
В монографии [14], где рассматривается метод Холта, значения А п В рекомендуется брать равными 0,1 и 0,01 соответственно. Один из недостаков этого метода - необходимость задания двух параметров (значения А и fi могут, вообще говоря, задаваться произвольно).
2) Метод Хал,та с модификациями Муира Муир [23] доказал, что значение показателя роста fc, вычисляемое по уравнению (2.2), совпадает с оценкой коэффициента линейного тренда по методу наименьших квадратов; другими словами, bt миними-
* Правильней 1ло бы записать модель (2.0) в виде = fi -f kft + Bf. Сложность как раз ri заключается з том, что коэффициент наклона Х в модели тренда может меняТьсл от / к / + 1. В противном Длучае, т. е. в рамках модели (2.0) с постоянными каэ<})флциентами, оптимальным было бы выравнивание df и прогнозирование по линейному тренду с помощью методов регрессионного анализа (гл, 7), - Примеч. пер.