назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [ 36 ] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


36

Как отмечалось ранее, кривая Гомпертца имеет 5-образную форму и поэтому часто применяется для описания процессов полного цикла. Точкой перегиба для этой кривой будет

со значением функции t/t, равным

p=f. (9.9)

где е = 2,71828.

Для примера с затратами на строительство автомобильных дорог значения tp иу соответственно равны 12,04 (1978 г.) и 1708,6. Точка перегиба отмечена на рис, 9.2. В этой точке прирост затрат достигает максимума и равен 120 единицам, далее этот прирост постепенно падает. Как мог заметить читатель, в данном случае точка перегиба не принадлежит интерналу наблюдения.

Логистическая кривая

Логистическая кривая задается уравнением

7i = + bc). (9.10)

Произведем обратное преобразование левой и правой частей этого уравнения:

= a + (9.11)

Уравнение (9.11) имеет вид модифицированной экспоненты, поэтому ее параметры с, b и а можно найти по формулам (9.2), (9.3) и (9.4). Вычислив эти параметры по формуле (9.10), легко определить выравненные значения и сам прогноз.

В табл. 9.4 и ниже приводятся соответствующие вычисления для определения параметров логистической кривой в случае примера с затратами на строительство автомобильных дорог.

Выравненные значения для г от 1 до 11 и прогноз на две точки вперед показаны на рис. 9.3. Логистическая кривая имеет 5-образную форму с точкой перегиба, равной

Значение у в точке перегиба равно:

Для примера с затратами на строительство автомобильных дорог значения tp и tjt соответственно равны 16,7 (1984 г.) и 2590,6. Точка перегиба, как и в случае кривой Гомпертца, не принадлежит интерва-



Таблица 9.4. CyMAtapHue величины и вычисления, необходимые для подгонки логистической кривой к данным о затратах (Yt==\/yt)

Суммарные величины {t от 1 до 10)

2 = 0,011463; "2 +1-0,0103382У*7+1=0.00001308;У?=0,00001455 111 1

л-1 л-1 л-1

10-0,00001308-0,011463.0,010338

п-1 /п-\ \а

(я-1)2у?- 2 yt

l0.0,0000[455-(0,011463)2

1 \ 0,0001308-0,0001185 0,000123 0,0001455-0,0001314 0,000141 Суммарные величины (t от ( до 11)

=0,8734;

2с = 5,34228; 2 с7= 0,006745; 2 с2= 3,052465; 27 = 0,012124

n2c7t-2с*2 7t 11-0,006745 - 5,34228.0,12124

п 2 2-(2 cff 11.3,052465-(5,34228)2

0,074195-0,06477 0.00943

" 33,5771-28,5399 5,03716 *». 2 7f-2 с* 0,012124-0,00187-5.34228

-;; = п

yt = 1 /(О, ООО 1ЭЗ+0,00187. (0,8734)

= 0,000193;

Итак, для этого примера с=0,8734; 6 = 0,00187; а = 0,000193;

1/; = 1/[0,000193+0,00187.(0,8734)].

Прогноз на 1978 г. (/=12) по этой кривой равен:

yit-= 1 /[0,000193+0,00187.(0.8734)12]= 1781,

лу наблюдения; прирост затрат в этой точке достигает максимума и равен 175 единицам.

В табл. 9.5 в терминах среднего квадрата ошибки (MSE) и средне-абсолютной процентной ошибки (МАРЕ) сведены результаты подбора

Таблица 9.5. Результаты подгонки кривых к данным о затратах на строительство автомобильных дорог

Название кривоа

МАРЕ

Модифицированная экспонента

7171

7,36

. Кривая Гомпертца

5018

4,77

Логистическая кривая

4889



2000

1/а = 5181

MSE 4889 MAf Е - 4,}6С4

Й 1200 -

I 800 м

3 400

У, = 1/[0.000193 (0,0Oi87)(0,8734)M

1967 i968 19b9 19;€ 19/1 19/2 19/3 19/4 1976 1976 1977 1978 1979 Время

Рис. 9.3. Логистическая кривая и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог

трех кривых: модифицированной экспоненты, кривой Гомпертца и логистической кривой.

Как видно из этой таблицы, наиболее удовлетворительные результаты дают кривая Гомпертца и лсгистическая кривая. Эти кривые лучше любой кривой из предыдущей главы (см. табл. 8.10),

Упражнение

Для данных о затратах на автоперевозки (с. 87) найдите параметры а, b н с

трех кривых и вычислите прогноз 112 1978 г. Результаты должны быть следующими:

Название кривой

?12 При. Т=1 НЛИ

Модифицированная экспонента Кривая Гомпертца Логистическая кривая

787,906 252,061 -[),0 00485

192,467 3,5331 0.001626

1,286739 1,071568 0,932877

4752,86 4549,43 4512,09

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [ 36 ] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]