назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


35

в результате из уравнений (9.2), (9.3) и (9.4) получим а = 4899, & = -4571, с == 0,97208. Таким образом, уравнение модифицированной экспоненты, удовлетворяющее качеству наилучшей подгонки, будет иметь вид:

= 4899 ~ 4571 • (0,97208)

На рис. 9.1 показан график этой кривой и прогноз по ней на два 1йомента времени вперед. Прогноз на 1978 г. (/ = 12) равен:

£ 4899 4571 • (0,97208)2 1644,8.

Модифицированная экспонента, как правило, служит базовой кривой, на основе которой с помощью некоторых преобразований получаются используемые чаще кривая Гомпертца и логистическая кривая. Однако это не означает, что в некоторых случаях и по модифицированной экспоненте нельзя получить хорошей подгонки данных и прогноза. Так, если на рынке появляется новый товар, сопровождающийся широкой рекламой, то спрос на этот товар сразу довольно велик, и в первое время скорость продажи этого товара будет довольно значительной. С течением времени сумма продаж будет стабилизироваться и, наконец, выйдет на некоторый уровень насьпцения. В этом случае фа-

g 2000

1600 -

1200 -

MSE-7171

у«48Э9-4571 (0,97208)*

t 1 I 1 1 1 1 f I

1 I t

1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 J975 1976 1977 1978 1979

Вртп

Рис. 9.1. Модифицированная экспонента и прогноз затрат на строительство автомэбнльных дорог



за медленного роста отсутствует, поэтому выравнивание по 5-образ-ной кривой вряд ли целесообразно, а наилучшими качествами подгонки Скорее всего будет обладать модифицированная экспонента,

Кривая Гомпертца

Кривая Гомпертца определяется уравнением

?t-ab, (9.5)

Возьмем от обеих частей этого уравнения натуральный логарифм или логарифм по основанию 10, получим

lgyi = lg + lg&, (9.В)

что приводится к виду

Y,-abcK (9.7)

K,-lg; a = lgG; Ь= \gb.

Таблица 9.3. Суммарные значения и вычисления, необходимые для подгонки кривой Гомпертца к данным о затратах на строительство автомобильных дорог (YtXgyt)

Суммарные значения (/ от 1 до 10)

7f = 29,65129; fi- 30,08295; 7+х=-89,40335; Vk=88,13835

1 1 1 1

и 1 1 10>89,4Q335 -29.65129.30,08295

V** V H).88,13835-(29,65129)2

I \ I У Ш, 0335-891.99827 2,033673

881,3835-879,19899 2,18451 Суммарные значения (/ от 1 до И)

- = 0,93176

2 с*-7,37932; 2 ==21, 77579; 22=5,19510; 2 7 = 32,83113

nZcYt-cfYt 11-21,77579-7,37932.32,83113 rz2c2~(2cp " 11.5,195Ш-(7,37932)2

239,53369-242,271414 2,7377

~ 57,1461,-54,45433 ~~2,6917~

п 11

aanUlg с= 4644,5; = antilg 0.0961435; 4644,5. (0,0961435) * .



Уравнение (9.7) имеет вид модифицированной экспоненты, поэтому параметры а\ Ь м с могут быть получены по формулам (9.2)-(9.4). После того как значения этих параметров найдены, нетрудно найти параметры а antilg а) и Ь (- antilg b). Выравненные значения И прогноз по кривой Гомпертца находятся из уравнения (9.5). В табл. 9.3 и ниже показаны вычисления, необходимые для нахождения трех параметров кривой Гомпертца в случае примера с затратами. Здесь (hjum использованы десятичные логарифмы, хотя, разумеется, основа-rtne логарифмов может быть выбрано произвольным.

Как следует из приведенных вычислений, наилучшей кривой в алысле качества подгонки будет кривая Гомпертца с параметрами с = 0,93176; b = 0,0961435 н а = 4644,5. Таким образом, выравненные значения и прогноз строятся по формуле

= 4644,5 • 0,09614350.17б< Йрогноз на 1978 г. {t 12) равен:

4644,5.0,0961435<>93176« 17038.

Выравненные значения для / от 1 до 11 и прогноз на две точки вперед (/ = 12 и / 13) показаны на рис. 9.2.

2000 -

а 1600-

1200

э = 8,44344 э= 4644,5

MSE = 5018 МАРЕ = 4,7692

Точка перегиба (1708,6,12).

= 4644,5 (0,0961435)033176)<

1967 1968 1963 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 197 Вре(уля

Рис. 9.2. Кривая Гомпертца и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]