назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


34

Подобная динамика часто возникает при описании экономических и технико-экономических процессов, в частности при описании полного цикла товара (соответствующие кривые называют «кривыми полного цикла»). Широко распространенными кривыми, обладающими точкой перегиба, являются логистическая кривая и кривая Гомпертца. Они точнее всего описывают процессы полного цикла.

Кривая Гомпертца и логистическая кривая могут быть получены из другой кривой, известной как модифицированная экспонента, тем же способом, каким были получены из обычной линейной регрессии кривые, рассмотренные в предыдуи;ей главе. В настоящей главе сначала будут рассмотрены вопросы выравнивания и прогнозирования по модифицированной экспоненте, иа основе которой с помощью определенных преобразований зависимой переменной будут оцениваться параметры кривой Гомпертца и логистической кривой. Все три кривые апробируются на примере с затратами на строительство автомобильных дорог (уже рассмотренного в гл. 7 и 8). Это поможет читателю проверить составленную им программу по выравниванию кривых на контрольном примере.

Кривые, построенные по модифицированной экспоненте, задаются тремя параметрами (вместо двух параметров при линейной зависимости). Вследствие этого эти кривые, вообще говоря, будут давать лучшие результаты подгонки, однако они требуют и больших вычислительных затрат.

Б табл. 9.1 даны уравнения трех кривых, исследуемых в настоящей главе, соответствующие преобразования и их стандартный вид.

В табл. 9.5 подобранные кривые ранжированы по следующим критериям: средний квадрат ошибки (MSE) и среднеабсолютная процентная опшбка (МАРЕ). Как может заметить читатель, кривая Гомпертца

Таблица 91. Кривые, сводящиеся к модифицированной экспоненте некоторым преобразованием

Название кривой

Уравнение

Преобразование

Вид кривой

Модифицирован- пая экспонента

Кривая Гомперта

9 у,

Логистическая



Н логистическая кривая по этим критериям приводят к лучшему качеству подгонки, чем любая другая кривая из описанных в гл. 8. Но это не означает, что подобная ситуация будет иметь место в любом другом случае выравнивания.

Модифицированная экспонента

Модифицированная экспонента сама по себе не имеет точки перегиба; вот уравнение этой кривой:

7t = a-j-bd. (9.1)

Для ее задания необходимо определить три параметра: а, b и с. Обычная процедура метода наименьших квадратов, изложенная в гл. 7 и 8, непосредственно к модифицированной экспоненте неприложима. Хотя в этом случае и суи;естЕует процедура, реализующая метод наименьших квадратов (известная под названием метода Гомеса), мы рассмотрим более простой и практически столь же эффективный метод определения параметров кривой, описанный Бриантом [51.

Подгонка модифицированной экспоиенты

Теория, лежащая в основе описываемого ниже метода определения параметров модифицированной экспоненты, в этой книге не рассматривается. Читатель может с ней ознакомиться по другим источникам (см. например [5, с. 1851). Следуя этому методу, сначала определяется параметр с, а затем два других параметра, а и Ь.

Напомним, что по соглашению, принятому в этой книге, первое

наблюдение соответствует моменту времени / = 1, а 2 = 2, за ис-

ключением особо оговариваемых случаев. Ниже выписаны три формулы определения параметров модифицированной экспоненты в порядке их вычисления:

п-1 п~У п-1

с----; (9.2)

ti-l /гг-1 - "

( = 1

« = rf£. (9.4)

в табл. 9.2 и ниже приводятся вычисления, необходимые для нахождения параметров а, b и с модифицированной кривой для примера с затратами на строительство автомобильных дорог, рассмотренного в предыдущих главах.

5* .107



Таблица 9.2. Полная статистика и вычисления, необходимые для подгонки модифицированной кривой к данным о затратах на строительство автомобильных дорог

yi yt+i

1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976

1977

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

914 1100 1196 1499 1574

1 1513 1

608 685 807 839 914 1100 1196 1499 1674 1513

340 480 416480 552 795 t)77 073 766 864 1 005 400 1 315 600

1 792 804

2 359 426 2 381 462

313 600 369 664 469 225 651 249 703 921 835396 1 210 000

1 430 416

2 247 001 2 477 476

0,97208 0,94494 0,91856 0,89291 0,86798 0,Й4375 0,82019 0,79729 0,77503 0,75339 0,73235

544,36467 574,52296 629.21098 720,78527 728,23491 771,18333 902,20666 953,55650 1161,76634, 1185,83371 1108.05138

0,94494 0,89291 0,84375 0,79729 0,75339 0.71191 0,67271 0,63567 0,60007 0,56759 0,53634

455,69 579,74 700,34 817,57 931,53 1042.30 1149,98 1254,65 1356,40 1455,31 1551,47

9782

10 735

11 608 366

10 707 948

1 11 295 1

9,31846

9279,50971

7,95716

п -1 л-1

(п ЪУ1У1+1 10.11608366-9782.10735 116Q8366Q-105009770 11073890

n-l /л-1 42

10.10707948 -(9782)* 107079480 - 95687524 И 391956

= 0.97208;

nScy-2с 1Ь9279,50971-9,31846-1 1295 102074,6-105252,0 3177,4

Л2<?-(2сО 1Ь7.95716-(9.31846)« 87,530-86,833 0,695

2!у-Ь2:с 11295 + 4571-9,31846 д * п 11 "

Заммчанш, ZsS, за исключением особо оговариваемых случаев.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]