назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


32

1600

1200

е-*769 = 1298,55

(7.169 - 10/f>

. Точка перегиба

1967 1968 1959 1Э70 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 Время

Рие. 8.7. 5-образная кривая и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог (с кривой, действительно имеющей форму 5)

Для иллюстрации возможного поведения подобных кривых на рис.8.7 показана S-образная кривая при а = 7,69; b = -10. Если кривая

= eo-¥b/i в действительности имеет форму S, она используетсядля описания полного цикла развития динамических процессов. Полный цикл такого процесса начинается с медленного роста, затем следует фаза бурного развития и, наконец, развитие кончается периодом насыщения (т. е. асимптотического приближения к некоторому уровню, в данном случае к величине Подобная смена фаз характерна для многих процессов как экономических, так и технологических и технических, На практике, однако, подобные процессы редко описываются S-образной кривой; более гибкими и адекватными кривыми являются логистическая и кривая Гомпертца (см. гл. 9). Для .S-образной кривой точкой перегиба, т, е. точкой, в которой рост коэффициента наклона касательной сменяется падением, будет точка t = -&/2; для S-образной кривой, отмеченной на рис. 8.7 пунктиром, Ь = -10, поэтому точка перегиба равна t = 5 (1971 г.)*.

* Более формально, точна перегиба - это точка, в которой скорость роста достигает максимального значения. Точка перегиба находится решением уравнения / (f) = О, где /* - вторая производная по / кривой Читатель/знакомый с дифференциальным исчислением, может проверить, что для S-образной кривой точка перегиба действительно равна / = -Ь/2.-Притч, пер.



ратнологарифмическая кривая

Обратнологарифмическая кривая определяется уравнением

= \/{а + b\nt). (8.1

Произведем обратное] преобразование зависимой переменной t/t

(К* = byt)i независимой - логарифмическое (Т = In /). Тогда уравнение (8.18) перепишется в линейном виде:

f; = а + ЬТ. (8.19)

Значения коэффициентов а и Ь можно теперь найти стандартным образом, с помощью линейной регрессии (см. например, табл. 8.9, где показаны расчеты по данным о затратах на строительство автомобильных дорог). Для этого примера прогноз на 1978 г. (/= 12) равен

2=1/(0,00192- 0,000521 In 12) = 1592 (рис. 8.8).

Таблица 8.9. Подгонка обратнологарифмической кривой к данным о затратах на строительства автомобильных дорог

Переменная

Зависимая

Независимая

Вид преобразования

ytifyt

Г=1п/

27t=0,01212; 27» = 0,000015

2Г= 17,50; 2Га=33.40; 277< = 0,0163

я2Г7е-2Т27< 1Ь0,01636-17,5»0,01212 q 000052* п272-(2Г)2 11.33,4-(17,5)2 *

27t-i>27 0,01212+0,Q005>17,5 QQQm2 п И

£= 1/(0,00192 --0,00052 In t).

Обратнологарифмическая кривая встречается в практике прогнозирования довольно редко. Она рассматривается здесь лишь с точки зрения полноты возможных комбинаций двух преобразований: семиг двойного логарифмирования и/или обратного преобразования, сводящих нелинейную зависимость к линейной. В нашем примере с затратами на строительство автомобильных дорог эта кривая, несомненно,

оказалась наихудшей. Очевидно, величина может быть и отрицательной при отрицательном b и alb < In /. В нашем примере этого не произойдет до момента времени t = 48, который скорее всего лежит за пределами прогнозирования по этой кривой.



§. 1600

о

1200

- 800

I 400

f = 1

= i/iaooi92 0,00052

1967 196B 1959 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 Время

Рис. 8.8, Обратнологарифмическая кривая и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог

Выбор наилучшей Кривой при прогнозировании

На рис. 8.9 показана типичная выдача с ЭВМ криволинейного выравнивания по данным о затратах на строителы:тво автомобильных дорог в диалоговом режиме. Большинство программ по подгонке кривых составлено именно таким образом: имеется некоторый набор кривых; для каждой из них производится подгонка, после чего пользователь выбирает одну или несколько из них для построения прогноза. В данной программе наилучшая кривая выбирается с учетом условия максимизации коэффициента детерминации. В примере с затратами на строительство автомобильных дорог наилучшей кривой в этом смысле будет экспонента. Если необходима дополнительная информация о выбранной кривой (в данном случае об экспоненте), возможно использование другой программы, выдающей фактические значения, выравненные значения и прогноз зависимой переменной на 12 шагов вперед (рис. 8.10).

При выборе кривой для прогнозирования можно руководствоваться и другими характеристиками, например средним квадратом ошибки (MSE) или среднеабсолютной процентной ошибкой (МАРЕ). Заметим, однако, что для рассматриваемого примера (о строительстве автомо-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]