1967 196В 1969 1Э7С 1971 1972 1973 1974 1Я75 1976 1977 1978 1979 Время

Рис. 8.3. Гиперболическая кривая I типа и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог

Гиперболическая кривая fi типа

Этот тип гиперболы задают уравнением

= )/(а +W). (8.9;

Данная гипербола сводится к линейному уравнению с помощью обрат-

ного преобразования зависимой переменной tjt (напомним, что в случае гиперболы I типа подобное преобразование проводилось для независимой переменной). Таким образом, если обозначить Yt = \1у[у то уравнение (8.9) перепишется так:

(8.10)

Для вычисления значения параметров а и Ь применяют стандартную процедуру линейной регрессии. В габл. 8.5 показаны соответствуннцие расчеты для примера с затратами на строительство автомобильных дорог. Значение прогноза исходной зависимой переменной находится с помощью уравнения (8.9) (рис. 8.4). Прогноз затрат на 1978 г.

{t = 12) равен12 = 1/(0,001816 - 0,000119-12) = 2577,3.

Таблица 8.5. Подгонка гиперболы II типа к данным о затратах р ш строительство автомобильных дорог

nJtYt-2tZYt 1Ь0,0596 -66-0,01212 QOOQllQ-

~ л2/«-(S0» 11-506- 66"

д 2Y,-blt 0,012124-0.00019-66 q 001816 п 11

= 1/(0,001816 - 0,0001190- Прогноз на 1978 г. (=12) равен £t -- 1/(0,001816 - 0,000119 X 12) - 2577.3.

* 2000

I 1600

1200

« о 3

р£«т001816 - 0,000119а

i i 1 г 1 i 1 i 1 1 1 1 I

1967 1968 1969 1970 1971 1972 19731974 1975 1976 19771978 1979 BpBMiff

Рис. 8.4. Гиперболическая кривая II типа и прогноз затраг на строительство автомобильных дсрог

Для этого типа гиперболы при & > О значения tjt стремятся к ну-

лю при неограниченном увеличении времени /; при b <С0 t/t стремится к бесконечности при стремлении t к а/Ь. Последняя ситуация на практике маловероятна.

Гипербола П1 типа (простая рациональная зависимость)

Такой тип гиперболической зависимости задается уравнением

= t/(a+bt). (8.11)

Этот несколько более сложный тип гиперболической зависимости (иногда называемый простой рациональной зависимостью) сводится к линейному уравнению переходом к обратным величинам зависимой (Yi Vt/t) и независимой (7 = 1 ) переменных. После подобных преобразований уравнение (8.11) запишется в линейном виде:

= аТ + Ь\

(8.12)

Как и прежде, значения а и & находятся с помощью линейной регрессии (табл. 8.6). Заметим, что при переходе от исходной зависимости к линейной, смысл коэффициентов меняется: коэффициент Ь определяет начальный уровень при Г = 0, а коэффициент а - коэффициент наклона. Таким образом, для уравнения (8.11) а = Ь н b = а.

Таблица 8.6. Подгонка гиперболы П1 типа к данным о затратах на строительство автомобильных дорог

nUTYf-S.TllYt 11-0.00426 -3.02-0,01212 qqjgj.

л272-(ST)* 11.1,56 -3.02»

, Yt~blT 0.01212 -0.00127-3,02

П 11

а=Ь=0,00127 И 6 = а= 0,000753;

t/{0,00127 + 0.000753/).

На рис. 8.5 показана гипербола третьего типа для примера с затратами на строительство автомобильных дорог. Прогноз на 1978 г.

(/ = 12) равен = 12;([).00127 + 0,000753-12) 1164. 95