назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


29

эгноз затрат на 1978 г. равен у = 496,21- е*»"* = 1879,9. шное свойство простой экспоненты: темп роста* (при Ь > 0) I этой кривой постоянен для любого момента времени. Поэтому I, например, эта кривая применяется для описания инфляции, то нциент b будет показывать темп инфляции. При 20%-ной ин-ш ф = 0,2) значение показателя будет удваиваться каждые три и учетверяться каждые семь лет. Очевидно, такая скорость ро-не может оставаться неизменной в течение длительного периода ш (увеличение времени t приводит к непропорциональному уве-шю зависимой переменной у). Скорее всего она может иметь ме-р,на протяжении двух-трех лет.

Экспоненциальная кривая широко применяется в экономике, а в экологических моделях [211.

иная кривая [

юнение степенной кривой (зависимости) имеет вид

= a/ (8.4)

ьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения (8.4):

1п% - 1па + Ып * (8.5)

Обозначим логарифмы зависимой переменной у как Yf = In yt н независимой / как Т = In f. Тогда уравнение (8.5) перепишется так:

Yta + ЬТ. (8.6)

Для вычисления значений а {- antiln а) и b применяется стандартная процедура регрессии (см. табл. 8.3 для примера с затратами на строительство автомобильных дорог). С помощью формулы (8.4) мож-

но найти прогноз исходной зависимой переменной yt на любой момент времени (рис. 8.2).

Таблица 8 3. Подгонка степенной кривой

к данным о затратах на сгроительсгво автомобильных дорог

Переменная

Зависимая

Независимая

В ид п реобразован и я

T=\nt

ГГ= 17,50;

л=.11

2Kt=75.60; SKf =520,91

27=33,4в;

SrKt= 122.88

* Темп роста кривой / (/) определяется логарифмической производной, т. е. темп роста (прироста) = (1п /(/)) = / (i)Jf (f). Для экспоненты In /(/) = = а + bt, поэтому (1п/(0) = Ь, - Примеч. пер.



f n2TYt-J:T2Yt 1M22.8-17.50-75.6Q q .л лЗЯ-(Sf)" 11-33,40-(17,5f

Д, JYt-b2T 75.60-0.469.17,5

n 11 *

a = antilna = 457,9; = 457,90.469

Например, прогноз на 1978 г. (t = 12) равен = 457 9* 12<*»**= = 1468,6.

1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 197£ Время

Рис. 8.2. Степенная кривая и прогноз затрат на строительство автомобильных дорог

Степенная кривая хорошо аппроксимирует показатели, непрерывно возрастающие со временем при положительном b или убывающие при

b отрицательном. В частном случае, при b = -1, у< = a/t> Это уравнение задает гиперболу, асимптотами которой служат оси координат,

а произведение переменных постоянно ( = а). В экономике этому

условию удовлетворяет кривая спроса с единичной эластичностью:

процент увеличения единицы времени t приводит к такому же процен-

ту ул1еньшения зависимой переменной /у.



Гиперболическая кривая I типа

Обычная гипербола задается уравнением

?t = a + bit.

(8.7)

Она может быть преобразована в линейную зависимость простым переобозначением независимой переменной. Произведем обратное преобразование переменной i. Тогда Т = 1/ и уравнение (8.7) перепишется как

(8.8)

Значения а и & находятся стандартными методами регрессионного анализа. В табл. 8.4 показана процедура подгонки кривой вида (8.7) к данным затрат на строительство автомобильных дорог. В этом слу-

чае прогноз зависимой переменной tji вычисляется подстановкой в уравнение (8.7) соответствующего значения времени / (рис. 8.3). Так,

прогноз на 1978 г. {t = 12) равен= 1300,5 - 996,9/12 - 1217,4.

Таблица 8.4. Подгонка гиперболы 1 типа к данным о затратах на строительство автомобильных дорог

Переменная

Зависимая

Независимая

Вид преобразования

л-11

S«/<= 11295; 2e/; = l29971l7

2Г = 3,02;

sr2=.l,56; 2Г(/=2382.3

nJ:ryi-2T2yt 11-2382.36 -3.02-11295 „gg g.

п2Г«-(2Г)« и .1,56-(3,02)»

д 2»/(-»2Г 11295 + 996,9.3,02 j3qq 5. я и

£= 1300,5-996,9/.

Для этого типа гиперболы при Ь > О значение yt уменьшается с ростом / и асимптотически приближается к а. Подобного рода кривая может применяться для выравнивания и прогнозирования показателя, который с течением времени падает до некоторого отличного от нуля уровня.

При Ь < О значение yt положительно, только если t > b/a; увели-

чение t приводит в этом случае и к увеличению yt с асимптотической границей, равной а.

Таким типом гиперболы хорошо описываются возрастающие процессы с насыщением. ,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]