назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]


28

преобразование {l/t). При этом, очевидно, возможно преобразование как зависимой переменной у, так и независимой / или одновременно и той, и другой. Если преобразовывается только одна переменная, то название этой формы преобразования получает приставку «семи» (например, «семи-логарифмы»); если преобразовываются обе переменные, то к названию преобразования добавляется определение «двойное» (например, «двойное обратное преобразование»). .

В настоящей главе на основе логарифмирования и обратного преобразования будут описаны восемь возможных преобразований крк-

Таблица 8,1. Кривые, сводящиеся к прямой некоторым преобразованием

Название кривой Уравнение Преобразование

Вид кривой

Линейная

р = э + /Ы

Экспоненциальная (простая)

Ь>0 Ь<0

Степенная

7= f/tt

Гиперболическая I типа

Гиперболическая П типа

b>0

/)<0,

j f = а/Ь

Гиперболическая m типа, или простая рациональная

r= 1/f

Логарифмическая

T- in t

З-образиая

r = 1/r

Обратнологариф мическая

b im

7= Cm

a/b>\oq t



полученных комбинацией из индивидуальных преобразований СИМОЙ переменной у и независимой переменной /. Существует мнение [331, что преобразования независимой перепой / необоснованны, поскольку подобные преобразования трудно претируются. Несмотря на это, кривые, получаемые с помощью преобразований, используются достаточно часто, и нередко ючаются в пакеты подбора кривых для ЭВМ [19]. Теоретические основы линеаризации для каждой кривой будут иллюстрироваться примером с затратами на строительство автомобильных \щурот из гл. 7. Таким образом, читатель, составивший свою собствен-1 яую программу, сможет проверить ее на контрольном примере. Результаты подбора по 8 различным кривым для этого примера далее будут сведены в табл. 8.10.

Из этой таблицы легко найти кривую, дающую лучшее качество подгонки в терминах коэффициента детерминации г, среднего квадрата ошибки MSE и среднеабсолютной ошибки в процентах МАРЕ (см. гл. 3). В конце настоящей главы обсуждаются вопросы автоматизации выбора наилучшей кривой и составление соответствующей программы.

Восемь кривых, рассматриваемых в данной главе, их уравнения, необходимые преобразования и вид кривых представлены в табл. 8.1.

простая экспоненциальная кривая

Простая экспоненциальная кривая (экспонента) определяется уравнением

7ь=-аеь. (8.1)

где е = 2,71828. Это уравнение можно записать в другом виде:

где а == In а, или

= а(Уу,

где Ь = е. От обеих частей уравнения (8.1) возьмем натуральный логарифм. Получим

\r\7i = \na + bt\ne. (8.2)

Заметим, что In е = I. Далее переобозначим зависимую переменную Yt = In {ь тогда

Ya+bt. (8.3)

В этом уравнении о! (= In а) и t могут быть найдены с помощью стандартной процедуры линейного регрессионного анализа (см. табл. 8.2 для примера с затратами на строительство автомобильных дорог).

Значения зависимой переменной вычисляются по формуле (8.1).



Таблица 8.2. Поцговка «ксаоненты в пМ1мере с затратами на с1ра11тельство автомобильных дорог

Переменная

Зависимая

Независимая

Вид преобразования

л=11

= 75,60; SKJ = 520.91

Si = 66; 2/«=:506; 2/Kt=465.76

. nUVt-tlLYt 1Ь465.76~-в6-75.60 jj 75.60-0.111.66

-(SO

-=6,207;

n И *

a = antiln 5,207 = 496,21; -496,21е01ь/.

Полученная. таким образом для нашего примера кривая показана на рис. 8.1. По ней были найдены два прогноза на 1978 и 1979 гг.

i 2000 -

СВ Z

1600

1200

=496,21 е"*

I I I

1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 19771978 1979 Времн

Рнс. 8.1. Кривая н прогноз затрат на строительство автомобильных дорог 90

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43]