{t - i) - расстояния (во времени) от середины периода до мо-прогноза.
. Напомним, что сумму 2 {yt -ytf, необходимую для нахождения (уравнение (7.14)), можно вычислить как разность между общей еуммой квадратов и суммой квадратов выравненных значений (см. урав-Ишия (7.10) и (7.11) и табл. 7.2). Для вычисления прогноза удобно де-ри*ь отсчет от последнего года {п)\ тогда если период упреждения прог-
Ш(а равен т, в уравнении (7.15) значение t-1 нбходимо заменить X + {п - 1)/2 (такую процедуру переобозначения переменной «время» назовем стандартным прогностическим переобозначением). После подобных переобозначений с учетом (7.14) и (7.15) стандартную ошибку прогноза можно записать* в виде
(7.16)
Итак, стандартная ошибка прогноза найдена, теперь можно определить и доверительные интервалы; приближенными 99, 95 Т! 68%-ными доверительными интервалами будут ±35, ±2S,
соответственно.
{
Таблица 7.4. Вычисление нижней и верхней границ доверителыюго интервала для примера
с прогнозированием затрат на строительство автомобильных дорог
| | | Выравненные ана- | | 95%-ный доверитель- |
| | Фактичес- | 1/.. | | ный интервал |
| кие значения | ЧЕИИЯ И прогноз 2 | 1 \ 2 7 | нижняя | верхняя |
| | | | граница | граница |
1967 | | | 476,36 | | 1>15. | 279,39 | 673,33 |
1968 | | | 586,46 | | | 396,34 | 776,58 |
1969 | | | 696,55 | | 1.08 | 511,57 | 881,53/ |
1970 1Й71 | | | 806,64 | | 1,06 | 625,08 | 988.20 |
| | 916,73 | | 1,05 | 736,89 | 1096,57 |
1972(7 | | | 1026,82 | | 1,04 | 848,69 | 1204,95 |
1973 | | 1100 | 1136,91 | | 1,05 | 957,07 | 1316,75 |
1974 | | 1196 | 1247,00 | | 1,06 | 1065,44 | 1428.55 |
1975 | | 1499 | 1357,09 | | 1,08 | 1172,11 | 1542,07 |
1976 | | 1574 | 1467,18 | | 1,11 | 1277,06 | 1657,30 |
1977 | | 1513 | 1577,27 | | 1,15 | 1380,30 | 1774,24 |
1978 | | | 1587,35 | | 1,19 | 1483,66 | Ш1,20 |
1979 | | | 1797,45 | | 1,24 | 458506. | 2009,84 |
1980 | | | 1907,55 | | 1,29 | 1Й8б,60 | 2128,50 |
1981 | | | 2017,64 | | 1,35 | 1786.41 | 2248,87 |
| | | 2127.73 | | 1,41 | 1886,23 | 2369,23 |
1983 | | | 2237,82 | | 1.48 | 1983,51 | 2490,49 |
1984 | | | 2347,91 | | 1,55 | 2082,43 | 2613,39 |
f Дорнтельный интерзал симметричен относительно поэтому для значений t lepwuHx значение i в уравнении (7.16) должно полагаться равным - (а-1-Нт). На прак-ТИШ1, однако, нет нужды вё1числ5ггь доверительные интервалы для значений U меньших t.
Найдем стандартную ошибку прогноза для примерах затратами т строительство дорог. Периоду упреждения т = 1 соответствует 1978 г Поэтому
(1+5)»
11 110
- 89,64 У\+ 0,09 + 0,33 = 86,64.1,19=101,91.
Отсюда можно заключить, что 95%-ным доверительным интервалом для прогноза затрат на строительство автодорог в 1978 г. будет
2800
2400
2000
1600
1200
I I I I I f
I I I I I I I I
1967 1969 1971 1973 1975 1Э77 1979 1981 1983 Времл
Рис. 7.3. Прогноз затрат на автоперевозки с 95%-ными доверительными границами
1687,35 ± 2-101,91, т. е. нижней границей прогноза является 1483,56, а верхней будет 1891,20.
В табл. 7.4 даны нижние и верхние границы 95%-ного доверительного интервала для этого примера, а на рис. 7.3 эти границы изображены в виде кривых, расположенных по обе стороны от линии регрессии. На том же рисунке показан прогноз затрат в плоть до 1984 г. Возможно, что по этому тренду нецелесообразно находить прогноз на более отдаленную перспективу.
Линейный регрессионный анализ (или анализ трендов в случае временных рядов) - мощный метод построения среднесрочных прогнозов: находится не только сам прогноз, но и определяется его точность (имеются в виду стандартная ошибка прогноза и доверительные границы). С заранее выбранной степенью вероятности на основе этих ме-
можно построить «вилку» прогноза, т. е. исследовать прогноз [ежность.
же методику (см. гл. 8) можно применять в общем случае кри-[ейного выравнивания, рис. А.5 приложения приводится блок-схема вычисления оце-коэффициентов регрессии а и &, выравненных значенй* и прогно-
Ниже представлены данные о затратах на автоперевозки в Великобритании 1967 по 1977 г.
| 1967 | 1968 | 1969 | 1970 | 1971 | 1972 | 1973 | 1974 | 1975 | 1976 | 1977 |
Затраты в млн. фунтов стер-ляигов | 1008 | 1129 | 1087 | 1164 | 1628 | 1971 | 2104 | 1969 | 2388 | 3190 | 3993 |
Источник, Government Statistical Service (1979). Transport Statistics Greal Britain 1067-1977.
Убедитесь в том, что для этих данных: : 1) коэффициент регресин b - 265,07;
2) начальный коэффициент регрессии а = 376,02;
3) коэффициент корреляции г - 0,93;
4) наименьшая стандартная ошибка прогноза Sy = 368,71;
5) прогноз затрат на автоперевозки в 1978 г. равен = 3556,89 (при т = 1 или 12).
6) 95%-ный доверительный интервал для есть (2679,36; 4434,42).
Глава 8. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ВЫРАВНИВАНИЕ (ПОДБОР КРИВЫХ, СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНОМУ ТРЕНДУ)
Метод наименьших квадратов и процедуры подбора прямой регрессии, описанные в предыдущей главе, полностью переносятся и на случай, когда уравнение кривой может быть после некоторых преобразований сведено к линейному тренду:
Для того чтобы найти прогноз, необходимо оценить сначала параметры линейного тренда, подставить их в исходное уравнение кривой, а затем вычислить прогноз.
В практике криволинейного выравнивания широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм (In) и обратное