Вероятностное моделироеакие • финансово-экономической обяасти
Основными вероятностными прогнозными характеристиками марковской цепи являются вероятности состояний на любом шаге р. (к), i=i, 2.....
Вероятности состояний на каждом шаге можно вычислить, используя формулу (2.4) или формулу (2.5). Но для этого необходимо знать вектор начального распределения вероятностей состояний (p (0).....(0)).
Ключевые слова
Процесс с дискретным временем; процесс с непрерывным временем; случайная последовательность; марковская цепь; вероятности состояний; переходные вероятности; матрица переходных вероятностей; вероятности задержки; однородная марковская цепь; стохастическая матрица; двоякосто-хастическая матрица; размеченный граф состояний; вектор начального распределения вероятностей.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение процесса с дискретным временем.
2. Дайте определение процесса с непрерывным временем.
3. В чем различие дискретного процесса и процесса с дискретным временем?
4. Что такое марковская цепь?
5. Определите вероятности состояний и как они связаны с прогнозированием протекания в системе дискретного процесса с дискретным временем?
6. объясните, что такое переходные вероятности и в чем их отличие от вероятностей состояний?
7. Дайте определение однородной марковской цепи.
8. Как, по-Вашему, можно определить значения переходных вероятностей?
9. По каким формулам вычисляются вероятности состояний однородной марковской цепи?
Задания к §2
2.1. Рассмотрим состояния банка s,, s, Sg, s, характеризующиеся соответственно процентными ставками 3%, 4%, 5%, 6%, которые устанавливаются в начале каждого месяца и фиксированы на всем его протяжении. Наблюдение за работой банка в предшествующий период показало, что переходные вероятности состояний в течение квартала изменяются пренебрежимо мало и, следовательно, их можно считать постоянными.
Определить вероятности состояния банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 5%, а размеченный граф состояния банка имеет следующий вид:
Рис. 2.3
Всроятиостнос модеянропнт фннаисюо-жонамнческай области
Вычислите требуемые вероятности и по формулам (2.4) и (2.5). Сравните сложность вычислений по этим формулам.
Замечание 2.1. При выполнения этого задания можно ориентироваться на пример 2.3.
2.2. Состояния банка s, Sj и характеризуются соответственно процентными ставками 5%, 8% и 11%, которые устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Переходные вероятности постоянны.
Спрогнозируйте, какая ставка будет в 2004 году, если в 2000 году процентная ставка была 5%, а размеченный граф состояний представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.4
Замечание 2.2.2000 год можно считать начальным годом анализа, а шаги й= 1,2,3,4 будут соответствовать 2001, 2002, 2003, 2004 годам. В качестве ориентира выполнения задания 2.2 можно рассматривать пример 2.3.
2.3. Состояния банка s, Sj, S3, s, s, характеризуются соответственно процентными ставками 4%, 6%, 10%, 11%, 14%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и не изменяются на всем его протяжении. Переходные вероятности, как показали предшествующие наблюдения, не изменяются.
Охарактеризуйте процесс, протекающий в банке, и определите вероятности состояний банка через два года, если