назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]


8

Так как множество состояний, в которых может находиться система S, конечно (три состояния), то протекающий в системе S случайный процесс - дискретный.

С определенной степенью погрешности можно предположить, что вероятность пребывания банка в одном из своих состояний в будущем зависит в существенном только от состояния в настоящем и не зависит от его состояний в прошлом. А потому рассматриваемый случайный процесс можно считать марковским.

В силу условий примера банк может переходить из состояния в состояние только в заранее определенные моменты времени: tf- начало k-ro квартала, k = 1, 2, 3, 4. Следовательно, случайный процесс в системе 5 является процессом с дискретным временем.

Так как зависимостью переходных вероятностей от времени можно пренебречь, то рассматриваемый процесс будет однородным.

Таким образом, в системе S протекает однородный марковский дискретный случайный процесс с дискретным временем, т.е. имеем однородную марковскую цепь.

По размеченному графу на рис 2.2 выпишем значения переходных вероятностей: p=0,4, р,з=0,2. Тогда по формуле (2.3), при г=1, р„=1-(р,2+Р,з)=1-(0,4+0,2)=0,4. Аналогично Pj,=0,2; рзОуЗ и, следовательно, ргО.З. Наконец, Рз.=.0,1;рз,=0,3;рзз=0,6.

Составим матрицу переходных вероятностей:

f0,4 0,4 0,2 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,6

Обратим внимание на то, что сумма элементов каждой строки матрицы Р равна (как и должно быть) единице.

Так как в конце предшествующего года процентная ставка составляла 3%, то можно считать, что в начальный момент t=0 система S находилась в состоянии s. Поэтому начальное распределение вероятностей имеет вид

(р,(0) р,(0) рз(0))=(0 1 0). (2.6)



Вероятностное моделирование в финансово-эк

еской областн

Вероятность состояний банка в конце года, т.е. по прошествии четырех кварталов, можно найти по формуле (2.5) при и=3 и й=4. Для этого подсчитаем сначала Р*: ,

f0,4 0,4 0.2! 0,2 0,5 0,3 0,1 0.3 0,6

f0,4 0,4 0,2 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,6

0,4 0,4+0,4-0,2+0,2 0,l 0,4 0,4+0.4 0,5+0.2-0.3 0,4 0,2+0,4 0,3+0.2-0,6 0,2 0,4+0,5 0,2+0,3-0,1 0,2-0,4 + 0,5-0,5+0,3-0,3 0,2-0,2+0,5-0,3+0,3 0,6 0,1-0,4+0,3-0,2+0,6 0.1 0,1 0,4+0,3-0,5+0,6-0,3 0,1-0,2+0,3 0,3+0,6 0,6

f0,26 0,42 0,32 "1 0,21 0,42 0,37 0.16 0,37 0.47

Тогда

(0,26 0.42 0.32 0.21 0,42 0.37 0.16 0.37 0.47

СО.26 0,42 0.21 0.42 0.16 0.37

0.32 "1

0.37

0.47

0.2070 0,4040 0.3890 0,2020 0.4015 0,3965 0.1945 0.3965 0.4090 Из (2.5) при п=3 и k=4 с учетом (2.6) имеем

С0,2070 0,4040 0,3890

(р,(4),Р2(4),Рз(4)) = (0,1.0)

0.2020 0,4015 0,3965 0,1945 0,3965 0.4090

-(0-0,2070+1 2020+0-0,1945 о 0,4040+1-0,4015+0-0,3963 0-0,3890+1-0,3965+ 0-0,4090)= -(0,2020 0,40150,3965).

Итак,р,(4)=0,2020;р2(4)=0,4015;рз(4)=0,3965, т.е. в конце года вероятности процентных ставок 2%, 3%, 4% равны соответственно 0,2020; 0,4015; 0,3965. Таким образом, вероятнее всего процентная ставка к концу года останется такой же, как и была в конце предшествующего года, т.е. 3%.

Отметим, что в качестве контроля за правильностью вычислений можно использовать проверку матриц на сто-



хастичность. В рассмотренном примере матрицы Р, i*, Р* стохастичны.

Замечание 2.1. Для нахождения вектора (р,(4), pii), Рз(4)) в примере 2.3 можно было бы вместо формулы (2.5) четырежды последовательно использовать формулу (2.4), а именно, сначала по этой формуле найти вектор вероятностей состояний в 1-м квартале

(А(1).р,(1),Рз(1))=(А(0),Р2(0).Рз(0))Р, затем во 2-м квартале

(р,(2), ft(2), Рз(2))=(р.(1),р,(1), Рз(1))Р, и т.д., пока не дойдем до 4-го квартала

(р,(4), й(4).р,(4)) = (р,(3), р,(3). Рз(3))Р.

Краткие выводы

• Дискретный случайный процесс с дискретным временем, протекающий в системе, характеризуется тем, что система может перескакивать из одного состояния в другое только в заранее известные моменты времени, называемые шагами (или этапами).

• Не следует путать дискретный процесс (т.е. процесс с дискретными состояниями) с процессом с дискретным временем.

• Дискретный случайный процесс с дискретным временем можно представить случайной последовательностью (по шагам), называемой цепью.

• Цепь, обладающая свойством отсутствия последействия, является марковской.

• У однородной марковской цепи переходные вероятности постоянны, не зависят от шагов (практически каждая переходная вероятность на любом шаге пренебрежимо мало отличается от постоянной для нее величины).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]