Вероятностное моделирование в финансово-экономической областн

строке матрицы Р переходных вероятностей, и потому их сумма в силу (2.2) равна 1. Следовательно, вероятности задержек (i=l.....и) можно подсчитать по формуле

Pii = i-J!,Ps i = l,:.,n. (2.3)

Именно поэтому стрелки-петли из состояния s, в себя и соответствующие им вероятности задержки на графе не указываются.

Определение 2.9. Вектор-строка вероятностей состояний 09,(0), ...,р(0)) в начальный момент времени t=0, непосредственно предшествующий первому шагу, называется вектором начального распределения вероятностей.

Очевидно, что для вероятностей в начальный момент времени также имеет место нормировочное условие (2.1) (при й=0), т.е. p{0}+...+pJ(0}=l. Например, если система S в начальный момент =0 находилась в состоянии s, т G{1,п}, то р(0)=1,и тогда начальное распределение вероятностей будет иметь вид: p(0)=...=p ,(0)=0, р (0)=1, P™.i(0)=-=P„(0)=0.

Имея в своем распоряжении начальное распределение вероятностей и матрицу переходных вероятностей, можно вычислить вероятности состояний системы от любого k-TO до (й+1)-го шага, k=i, 2,.... Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Для однородной марковской цепи вектор-строка вероятностей состояний от k-го до (к+1}-го шага равна произведению вектор-строки вероятностей состояний от {к-1)-го до k-го шага на матрицу пере ых вероятностей:

{p,(k).....p„ik)Mp,ik-l),...,p„ik-l)yP. (2.4)

§ 2. Дискретный марковский процесс с дискретным временем. Марковская однородн;

Доказательство. Предварительно отметим, что размер [1хи] вектор-строки (p(k-i), ...,pj(k-l)) и размер [ихи] матрицы Р переходных вероятностей в правой части равенства (2.4) обеспечивают возможность их перемножения, в результате чего получаем вектор-строку размера [1хи].

Для каждого k=l,2, ... рассмотрим п гипотез H.{k-i), г=1,п, состоящих соответственно в том, что от (fe-l)-ro шага до fe-ro система S находилась в состоянии s.. Шпоте-зы H.(k~l), 1=1,.... п, для каждого fe=l, 2,... несовместны и образуют полную группу Их вероятностир( .(й-1 ))=Pj(fe-1). Условная вероятность p(5(fe)5(fe-l)) того, что система от fe-ro шага до (fe+l)-ro будет находиться в состоянии Sj при гипотезе H.(fe-l), т.е. при условии, что система 5 от (fe-l)-ro шага до fe-ro находилась в состоянии s., есть переходная вероятность р.. Поэтому по формуле полной вероятности

Pj(k)=±p{HXk-i))p{Sj(k)\SXk-i))=ip,(k-i)p,. j = i.....n,, что и доказывает справедливость формулы (2.4).

Для вычисления вектора вероятностей состояний от fe-ro до (fe+l)-ro шага по формуле (2.4) необходимо знать вектор вероятностей состояний от (fe-l)-ro до fe-ro шага, т.е. формула (2.4) является рекуррентной.

При fe=l в правой части равенства (2.4) стоит произведение вектора начального распределения вероятностей на матрицу Р.

«Формула полной вероятности» дает возможность вычислить вероятность р(£) события Е, которое может наступить лишь при условии наступления одной из несовместных гипотез Я,,Я , образующих полную группу. По этой формуле р(£) равна сумме произведений вероятностейр(Я.), i=l,.... п, каждой из гипотез Я., i=l.....п, на соответствующую условную вероятность р{Е\Н.) события Е при гипотезе Н.:

р{Ю = р(Н,Ур{Е\Щ), 1=1

2 От recurro (лат.) - возвращаться.

Вероятностное моделирование в финансово-анономнческон обяасти

Следствие 2.1. Для однородной марковской цепи имеет место следующая формула

(а(*).-.Р„(*)) = (а(0)--.Р„(0))/*, * = 1,2..... (2.5)

Доказательство. В правую часть формулы (2.4) вместо вектора (р,(й-1),pj(k-i)) подставим его выражение (p{k-2},....pJJi-2y)Pпо формуле (2.4), получающееся из нее при замене k пл k-\. Получим (p,(fe-l), р (k))= {p,(k-2),...,p(k-2)yP.

Аналогично, в правую часть этого равенства вместо вектора (p(k-2}, ...,pj{k-2)) подставим его выражение по формуле (2.4) и т.д. В результате придем к формуле (2.5).

Нетрудно убедиться в том, что любая натуральная степень квадратной стохастической матрицы является матрицей стохастической. Таким образом, в формуле (2.5) Р*- стохастическая матрица.

Пример 2.3. Рассмотрим состояния банка, характеризующиеся одной из процентных ставок: 2%, 3%, 4%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и фиксированы на всем его протяжении. Таким образом, если за систему S принять рассматриваемый банк, то она в каждый момент времени может находиться только в одном из следующих трех состояний: процентная ставка 2%, s- процентная ставка 3%, s3- процентная ставка 4%. Анализ работы банка в предшествующие годы показал, что изменение переходных вероятностей с течением времени пренебрежимо мало.

Определим вероятности указанных состояний банка в конце года, если в конце предыдущего года процентная ставка банка составляла 3%, а размеченный граф состояний банка изображен на рис. 2.2.

Рис.2.2